Limite de q^n

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

On étudie la limite de la suite géométrique (q^n) selon la valeur de la raison q. Le résultat dépend entièrement de la position de q par rapport à -1 et 1, et l'hypothèse sur q doit toujours être énoncée.

\lim_{n\to+\infty} q^n=\begin{cases}+\infty & \text{si } q>1,\\[2pt] 1 & \text{si } q=1,\\[2pt] 0 & \text{si } -1<q<1 \text{ (strictement)},\\[2pt] \text{pas de limite} & \text{si } q\le -1.\end{cases}

Pour q=-1, la suite (-1)^n vaut alternativement 1 et -1 : pas de limite. Pour q<-1, |q^n|=|q|^n\to+\infty avec un signe alterné : pas de limite.

Formules

  • Cas \lim q^n=0 : nécessite -1<q<1 strictement. Exemples : \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\to 0, \left(\dfrac{2}{3}\right)^n\to 0, (-0{,}7)^n\to 0.
  • Somme géométrique infinie : pour -1<q<1, 1+q+q^2+\dots\to\dfrac{1}{1-q} et u_0+u_1+\dots\to\dfrac{u_0}{1-q} (car q^{n+1}\to 0).

Méthodes type bac

  • Identifier q et le situer par rapport à -1 et 1 avant toute conclusion.
  • Ramener à une seule puissance : \dfrac{2^n}{3^n}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^n, puis appliquer la règle.
  • Limite d'une somme géométrique : utiliser q^{n+1}\to 0 (si -1<q<1) dans la formule de somme.

Pièges

  • Le piège mortel : écrire « \lim 1^n=0 car |1|<1 » est FAUX. On a |1|=1, qui n'est pas strictement inférieur à 1. Pour q=1, 1^n=1 donc la limite est 1.
  • La condition \lim q^n=0 est strictement -1<q<1 : ni q=1 ni q=-1 ne donnent 0.
  • Pour q\le -1, ne jamais écrire une limite : la suite n'a pas de limite.
  • Toujours grouper les exposants : \left(\dfrac{1}{2}\right)^n et jamais \dfrac{1}{2}^n.

Pour l'épreuve

Énonce systématiquement la condition sur q : « comme -1<\dfrac{2}{3}<1, \left(\dfrac{2}{3}\right)^n\to 0 ». C'est ce que le correcteur attend. La limite d'une somme géométrique infinie (\dfrac{u_0}{1-q} pour |q|<1) revient souvent : elle découle directement de q^{n+1}\to 0.