Compléments : croissances comparées et dérivée composée

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Les croissances comparées précisent qui, du logarithme ou de la puissance, « gagne » à l'infini : \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0, \qquad \lim_{x \to 0^{+}} x\ln x = 0. Plus généralement, pour tout réel \alpha > 0 : \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^{\alpha}} = 0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to 0^{+}} x^{\alpha}\ln x = 0. Idée : « la puissance l'emporte sur le logarithme ». On peut le retrouver via \exp en posant x = e^t.

La dérivée d'une fonction composée \ln(u), avec u dérivable et u > 0, est \big(\ln(u)\big)' = \dfrac{u'}{u}.

Formules à connaître

  • \big(\ln(u)\big)' = \dfrac{u'}{u}.
  • \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^{\alpha}} = 0 et \displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} x^{\alpha}\ln x = 0 pour \alpha > 0.
  • Factorisation type : x - \ln x = x\left(1 - \dfrac{\ln x}{x}\right).

Méthodes type bac

Lever une indétermination \infty - \infty. Pour \displaystyle\lim_{x \to +\infty}(x - \ln x), on factorise par le terme dominant x : la parenthèse tend vers 1, le produit vers +\infty.

Lever une indétermination 0 \times \infty. Pour \displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} x\ln x, on utilise directement la croissance comparée : la limite est 0.

Dériver une composée \ln(u). Identifier u, calculer u', écrire \dfrac{u'}{u}. Vérifier que u > 0 pour que la fonction existe (sinon, déterminer l'ensemble de définition).

Étudier f(x) = x\ln x - x. Sa dérivée se simplifie : f'(x) = \ln x. Minimum -1 en x = 1, limite 0 en 0^+ (croissance comparée), limite +\infty en +\infty.

Pièges fréquents

  • Conclure « \dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{+\infty}{+\infty} donc on ne sait pas » : c'est justement une forme levée par les croissances comparées (limite 0).
  • Oublier le facteur u' dans \big(\ln(u)\big)' = \dfrac{u'}{u}.
  • Appliquer une croissance comparée hors de son domaine de validité (par exemple en 0^+ pour \dfrac{\ln x}{x} : là, \ln x \to -\infty et \dfrac{1}{x} \to +\infty, le quotient tend vers -\infty, ce n'est pas une croissance comparée).
  • Croire que x\ln x \to -\infty en 0^+ : non, la limite est 0.

Pour l'épreuve

Les deux limites \dfrac{\ln x}{x} \to 0 et x\ln x \to 0 servent constamment à conclure une étude de fonction. Le réflexe de factorisation par le terme dominant lève les indéterminations \infty - \infty. La dérivée \dfrac{u'}{u} est l'outil de base de toute fonction contenant un \ln. Les croissances comparées du logarithme se retiennent en parallèle de celles de l'exponentielle (\dfrac{e^x}{x^n} \to +\infty) : le logarithme étant la réciproque de l'exponentielle, l'un croît aussi lentement que l'autre croît vite. Dans un problème type bac, ces limites interviennent surtout pour déterminer le comportement asymptotique d'une fonction (asymptote horizontale, branche infinie) et pour conclure un tableau de variations. Pensez à toujours préciser l'ensemble de définition d'une composée \ln(u) avant de dériver : la formule \dfrac{u'}{u} n'a de sens que là où u > 0.