Limites d'une suite monotone

Formules

Recherche de la limite par point fixe : si u_{n+1}=f(u_n) avec f continue et si (u_n) converge vers \ell, alors en passant à la limite dans la relation, \ell=f(\ell). On résout cette équation pour obtenir \ell (on élimine les solutions incompatibles avec l'encadrement).

Méthodes type bac

Le schéma type d'un exercice de convergence :

1. Montrer que (u_n) est bornée (souvent par récurrence). 2. Montrer qu'elle est monotone (signe de u_{n+1}-u_n). 3. Conclure à la convergence par le théorème de la limite monotone. 4. Déterminer \ell via \ell=f(\ell).

Pièges

• La limite d'une suite croissante majorée par M vérifie \ell\le M, pas \ell=M.
• Le calcul \ell=f(\ell) ne se fait qu'après avoir prouvé la convergence : sinon on ne peut pas passer à la limite.
• Parmi les solutions de \ell=f(\ell), garder celles compatibles avec les bornes de la suite.

Exemple complet. Soit u_0=0 et u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+1. On montre d'abord u_n\le 2 par récurrence (si u_n\le 2 alors u_{n+1}\le\dfrac{1}{2}\times 2+1=2). Ensuite u_{n+1}-u_n=1-\dfrac{1}{2}u_n=\dfrac{2-u_n}{2}\ge 0 puisque u_n\le 2 : la suite est croissante. Croissante et majorée par 2, elle converge. Sa limite \ell vérifie \ell=\dfrac{1}{2}\ell+1, soit \dfrac{1}{2}\ell=1, donc \ell=2. Les quatre étapes (borne, monotonie, convergence, point fixe) sont toutes visibles.

Pour l'épreuve

C'est l'un des exercices de bac les plus prévisibles : « bornée + monotone \Rightarrow convergente, puis point fixe ». Rédige les quatre étapes proprement. Bien insister : on calcule \ell via \ell=f(\ell) uniquement une fois la convergence établie. Attention à ne pas confondre la majoration (qui borne) et la monotonie (qui oriente) : ce sont deux ingrédients distincts, tous deux nécessaires.