Limites et compléments sur la fonction exponentielle

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Limites de référence de l'exponentielle : \lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}e^x=0^+. La droite d'équation y=0 (axe des abscisses) est donc asymptote horizontale à la courbe en -\infty.

Croissances comparées (l'exponentielle l'emporte sur toute puissance) : \lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}x^n e^{x}=0 \quad (n\in\mathbb{N}).

Limite liée au nombre dérivé : \lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=1.

Ces croissances comparées traduisent une idée intuitive mais fondamentale : à l'infini, l'exponentielle l'emporte sur n'importe quelle puissance de x, aussi grande soit-elle. C'est pourquoi un quotient « exponentielle sur polynôme » tend vers +\infty, tandis qu'un quotient « polynôme sur exponentielle » tend vers 0. La dernière limite, quant à elle, n'est rien d'autre que le taux d'accroissement de l'exponentielle en 0 : elle redonne la valeur du nombre dérivé \exp'(0)=e^0=1 et sert souvent à reconnaître une dérivée déguisée dans un calcul de limite.

Formules à connaître

  • \displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty ; \displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x=0^+.
  • \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty ; \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^n}{e^x}=0.
  • \displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\,e^{x}=0 ; \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=1.

Méthodes type bac

  • Lever une forme indéterminée \dfrac{\infty}{\infty} ou 0\times\infty : factoriser par le terme dominant (e^x ou une puissance de x), puis appliquer les croissances comparées. Exemple : \dfrac{e^x-x}{x+1} se traite en factorisant numérateur et dénominateur par x, ce qui fait apparaître \dfrac{e^x}{x}\to+\infty.
  • Reconnaître un nombre dérivé : une limite du type \dfrac{e^{ax}-1}{x} se ramène à a\times\dfrac{e^{ax}-1}{ax}\to a\times 1=a.
  • Asymptotes : interpréter une limite finie \ell en \pm\infty comme une asymptote horizontale d'équation y=\ell. Une limite infinie en une valeur finie donnerait une asymptote verticale.
  • Démontrer une croissance comparée : au bac, on peut admettre les croissances comparées, mais \dfrac{e^x}{x}\to+\infty se démontre en étudiant g(x)=e^x-\dfrac{x^2}{2} et en minorant.

Exemple complet : pour f(x)=x^2 e^{-x}=\dfrac{x^2}{e^x}, la croissance comparée \dfrac{x^n}{e^x}\to 0 donne \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0^+, d'où une asymptote horizontale y=0.

Pièges fréquents

  • En -\infty, e^x\to 0 par valeurs positives (0^+) : la courbe reste au-dessus de l'axe des abscisses.
  • Une croissance comparée n'est valable que dans le bon sens : c'est l'exponentielle qui domine la puissance, jamais l'inverse.
  • \dfrac{e^{3x}-1}{x} ne tend pas vers 1 mais vers 3 : penser à ajuster le facteur pour reconstituer \dfrac{e^{u}-1}{u}.
  • Ne pas écrire « \dfrac{\infty}{\infty}=1 » : une forme indéterminée doit être levée par un calcul, jamais simplifiée brutalement.

Pour l'épreuve

Les croissances comparées sont des limites de cours à connaître par cœur et à citer explicitement dans la rédaction. Elles servent à lever la plupart des formes indéterminées des études de fonctions exponentielles, et à justifier les asymptotes. Toujours nommer le théorème ou la limite de référence utilisée : un correcteur attend la phrase « par croissance comparée ».