Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes
Les théorèmes de comparaison pour les fonctions sont analogues à ceux des suites.
Théorème des gendarmes : si g(x)\le f(x)\le h(x) au voisinage de a (ou de \pm\infty) et \lim g=\lim h=\ell (fini), alors \lim f=\ell.
Comparaison vers +\infty : f(x)\ge g(x) et \lim g=+\infty entraînent \lim f=+\infty.
Comparaison vers -\infty : f(x)\le g(x) et \lim g=-\infty entraînent \lim f=-\infty.
Formules
Encadrements de base : -1\le\sin x\le 1, -1\le\cos x\le 1. Variante en valeur absolue : si |f(x)-\ell|\le u(x) avec u(x)\to 0, alors f(x)\to\ell.
Méthodes type bac
Gendarmes avec terme borné : pour \dfrac{\sin x}{x} ou \dfrac{\cos x}{x}, encadrer le numérateur, diviser par x, faire tendre les bornes.
Minoration vers l'infini : pour x+\sin x, minorer par x-1.
Encadrement d'un quotient : encadrer le terme oscillant pour obtenir deux fractions rationnelles de même limite.
Pièges
Les deux gendarmes doivent avoir la même limite finie.
Pour une limite infinie, une seule inégalité suffit.
En divisant un encadrement par x, vérifier le signe de x (ici x>0) pour ne pas inverser les inégalités.
Exemple complet. Pour f(x)=\dfrac{2x+\cos x}{x+1} avec x>0 : de -1\le\cos x\le 1 on déduit \dfrac{2x-1}{x+1}\le f(x)\le\dfrac{2x+1}{x+1}. Or \dfrac{2x-1}{x+1}=\dfrac{2-\frac1x}{1+\frac1x}\to 2 et \dfrac{2x+1}{x+1}=\dfrac{2+\frac1x}{1+\frac1x}\to 2. Les deux bornes ayant la même limite 2, le théorème des gendarmes donne \lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=2. Le terme \cos x, borné, ne pèse plus face à 2x quand x\to+\infty.
Pour l'épreuve
Le réflexe « terme borné + dénominateur \to\infty » déclenche les gendarmes. Écris l'encadrement de \sin x ou \cos x, propage-le, fais tendre les bornes vers la même limite, conclus en nommant le théorème. Quand tu divises un encadrement par une quantité, vérifie son signe : diviser par un nombre négatif inverserait les inégalités.