Loi binomiale

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Soit un schéma de Bernoulli de n épreuves indépendantes de paramètre p. La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée \mathcal{B}(n, p). Elle prend ses valeurs dans \{0\,;1\,;\dots\,;n\}.

Théorème (loi binomiale). Pour tout entier k tel que 0 \leqslant k \leqslant n : P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^k\, (1-p)^{n-k}.

Les trois facteurs s'interprètent ainsi : \binom{n}{k} est le nombre de façons de placer les k succès parmi les n épreuves ; p^k est la probabilité des k succès ; (1-p)^{n-k} celle des n-k échecs.

La somme de toutes ces probabilités vaut bien 1, par la formule du binôme de Newton : \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = \big(p + (1-p)\big)^n = 1.

Formules à connaître

P(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}.
P(X = 0) = (1-p)^n ; P(X = n) = p^n.
P(X \geqslant 1) = 1 - (1-p)^n.
P(X \geqslant 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1).

Méthodes type bac

Justifier la loi. On vérifie d'abord les conditions du schéma de Bernoulli (épreuves identiques, indépendantes, deux issues), puis on identifie X comme le nombre de succès, et on conclut X \sim \mathcal{B}(n, p) en précisant n et p.

Calculer P(X = k). On applique la formule, en gardant l'expression \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} avant la valeur numérique.

« Au moins » par le complémentaire. P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) ; P(X \geqslant 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1). C'est plus rapide que de sommer beaucoup de termes.

Pièges fréquents

Oublier \binom{n}{k}. p^k(1-p)^{n-k} seul est la probabilité d'un chemin précis, pas de l'événement « k succès ».
Exposants groupés. Écrire \left(\dfrac{5}{6}\right)^5, jamais \dfrac{5}{6}^5.
Échantillon sans remise. On l'assimile à un schéma de Bernoulli seulement si la population est grande devant l'échantillon (ou tirage avec remise).
Confondre « au moins » et « exactement ». Lire attentivement l'énoncé.

Pour l'épreuve

La loi binomiale est l'aboutissement du chapitre. Maîtrise la formule P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, l'interprétation de ses facteurs, et le passage au complémentaire pour « au moins ». La calculatrice donne P(X=k) et P(X \leqslant k) directement : sache l'utiliser, mais aussi poser le calcul à la main. Toujours justifier que X suit bien une loi binomiale avant tout calcul.

Le réflexe de rédaction gagnant consiste à toujours écrire d'abord l'expression littérale \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, puis la valeur numérique arrondie. Cela vaut des points même si l'arrondi final comporte une petite erreur. Pour les questions « au moins un », souviens-toi que P(X \geqslant 1) = 1 - (1-p)^n : c'est une formule à reconnaître immédiatement. Méfie-toi des échantillons prélevés sans remise dans une population finie : on ne les modélise par une loi binomiale qu'à condition que la population soit grande devant la taille de l'échantillon, ce que l'énoncé précise généralement par la mention « tirage assimilé à un tirage avec remise ». Enfin, soigne le groupement des exposants : on écrit toujours une puissance d'une fraction entre parenthèses, jamais une fraction suivie d'un exposant isolé, sous peine d'ambiguïté.