Loi de Bernoulli

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Une variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre p, notée \mathcal{B}(p), lorsqu'elle prend la valeur 1 (succès) avec probabilité p et la valeur 0 (échec) avec probabilité 1 - p : P(X = 1) = p, \qquad P(X = 0) = 1 - p, \qquad 0 \leqslant p \leqslant 1.

Espérance, variance, écart-type. On démontre : E(X) = p, \qquad V(X) = p(1-p), \qquad \sigma(X) = \sqrt{p(1-p)}.

La démonstration de la variance utilise l'astuce X^2 = X (car X \in \{0\,;1\}), d'où E(X^2) = E(X) = p, puis V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = p - p^2 = p(1-p).

Formules à connaître

  • Loi : P(X=1) = p, P(X=0) = 1-p.
  • E(X) = p.
  • V(X) = p(1-p), \sigma(X) = \sqrt{p(1-p)}.
  • X^2 = X, donc E(X^2) = p.
  • Variance maximale en p = \tfrac{1}{2} : V(X) = \tfrac{1}{4}.

Méthodes type bac

Identifier la loi. Toute variable indicatrice d'un événement (vaut 1 si l'événement se réalise, 0 sinon) suit une loi de Bernoulli, de paramètre la probabilité de cet événement.

Calculer E, V, \sigma. On applique directement E(X) = p, V(X) = p(1-p) ; pas besoin de redresser le tableau de loi à chaque fois.

Retrouver p. Si on connaît E(X), alors p = E(X) (immédiat). Si on connaît V(X), on résout p(1-p) = V(X).

Variable complémentaire. Y = 1 - X suit \mathcal{B}(1-p) : c'est l'indicatrice de l'événement contraire.

Pièges fréquents

  • Variance. V(X) = p(1-p), à ne pas confondre avec p (l'espérance).
  • Valeurs de X. La loi de Bernoulli prend les valeurs 0 et 1, pas 1 et 2 ni les issues elles-mêmes.
  • Oublier \sigma = \sqrt{V}. L'écart-type est la racine carrée de la variance.

Pour l'épreuve

La loi de Bernoulli est la loi à deux valeurs \{0\,;1\}. Mémorise E = p et V = p(1-p) : ces formules, multipliées par n pour l'espérance et la variance, donnent celles de la loi binomiale. L'astuce X^2 = X permet de redémontrer rapidement la variance, un classique en question de cours. Garde en tête que la binomiale est une somme de n Bernoulli indépendantes : c'est l'étape suivante du chapitre.

Pour bien distinguer la loi de Bernoulli des autres lois discrètes vues en Terminale, retiens qu'elle ne décrit qu'une seule épreuve : il n'y a pas de paramètre n, contrairement à la loi binomiale. Une variable de Bernoulli ne prend donc que deux valeurs, 0 et 1, et son tableau de loi tient en deux colonnes. La démonstration V(X) = p(1-p) repose entièrement sur le fait remarquable X^2 = X, valable uniquement parce que X ne prend que les valeurs 0 et 1 ; c'est un argument élégant que les correcteurs apprécient. Sache enfin reconnaître la variable complémentaire Y = 1 - X, qui suit la loi de Bernoulli de paramètre 1 - p et modélise l'événement contraire : ce changement de point de vue simplifie souvent les calculs.