Loi des grands nombres

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

La loi des grands nombres (forme faible, au programme de Terminale) décrit le comportement de la moyenne M_n=\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n} d'un échantillon de variables indépendantes et de même loi que X (d'espérance \mu=E(X) et de variance \sigma^2). Elle s'énonce : \text{pour tout } \delta>0,\quad \lim_{n\to+\infty} P\left(|M_n-\mu|\geq \delta\right)=0. Autrement dit, la moyenne observée se concentre autour de l'espérance théorique quand l'échantillon grandit.

Formules à connaître

  • Énoncé : \displaystyle\lim_{n\to+\infty} P\left(|M_n-\mu|\geq \delta\right)=0 pour tout \delta>0.
  • Outil de preuve (inégalité de concentration) : P\left(|M_n-\mu|\geq \delta\right)\leq \dfrac{\sigma^2}{n\delta^2}.
  • Rappels : E(M_n)=\mu, V(M_n)=\dfrac{\sigma^2}{n}.

Méthodes type bac

Démontrer la loi des grands nombres : encadre 0\leq P\left(|M_n-\mu|\geq \delta\right)\leq \dfrac{\sigma^2}{n\delta^2}, puis fais tendre n\to+\infty. Le majorant tend vers 0 (dénominateur \to+\infty), donc par le théorème d'encadrement la probabilité tend vers 0.

Identifier la valeur limite : la moyenne se rapproche de l'espérance E(X). Pour un dé équilibré, M_n\to 3{,}5 ; pour une fréquence de Bernoulli, M_n\to p.

Justifier un sondage / une estimation : la loi des grands nombres légitime l'usage de la fréquence observée comme estimation de la proportion p, et l'inégalité de concentration en quantifie la fiabilité.

Dimensionner : combine avec l'inégalité de concentration et, pour une fréquence, la majoration p(1-p)\leq\frac{1}{4}.

Pièges fréquents

  • Énoncer une convergence « sûre » : la loi des grands nombres est une convergence en probabilité (P(\dots)\to 0), pas une égalité M_n=\mu.
  • Oublier le « pour tout \delta>0 » dans l'énoncé.
  • Croire que la loi décrit la forme des fluctuations : ça, c'est le théorème central limite, hors programme.
  • Appliquer le résultat sans rappeler l'hypothèse d'indépendance et de même loi.

Pour l'épreuve

La loi des grands nombres est l'aboutissement du thème : elle donne un sens mathématique à l'intuition « plus on répète une expérience, plus la moyenne se stabilise ». Sa démonstration, en trois lignes à partir de l'inégalité de concentration et du théorème d'encadrement, est une question de cours qui tombe régulièrement : apprends-la par cœur. Elle fonde tout l'échantillonnage et la statistique inférentielle (estimation, sondages, contrôle qualité). Pense à toujours préciser les hypothèses (variables indépendantes, de même loi, à variance finie) et à formuler la conclusion comme une convergence en probabilité. Enfin, relie-la aux chapitres amont : E(M_n)=\mu assure que la moyenne est « bien centrée », et V(M_n)=\frac{\sigma^2}{n}\to 0 explique pourquoi elle se concentre. C'est ce fil logique, de l'espérance et la variance jusqu'à la convergence, que les correcteurs valorisent.