Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Pour un échantillon X_1,\dots,X_n de variables indépendantes et de même loi que X (d'espérance \mu et de variance \sigma^2), on définit la variable aléatoire moyenne : M_n=\dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}=\dfrac{S_n}{n}. C'est une variable aléatoire : sa valeur dépend du tirage. Elle modélise la moyenne observée sur l'échantillon.
Démonstration rapide à partir de la somme : M_n=\dfrac{1}{n}S_n, donc E(M_n)=\dfrac{1}{n}E(S_n)=\dfrac{n\mu}{n}=\mu et V(M_n)=\dfrac{1}{n^2}V(S_n)=\dfrac{n\sigma^2}{n^2}=\dfrac{\sigma^2}{n}.
Calculer E, V, \sigma de la moyenne : E(M_n)=\mu, V(M_n)=\dfrac{\sigma^2}{n}, \sigma(M_n)=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}. Attention au \dfrac{1}{n^2} qui apparaît dans la variance via M_n=\frac{1}{n}S_n.
Dimensionner un échantillon pour une précision s : résous \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq s, soit n\geq\dfrac{\sigma^2}{s^2}, puis prends l'entier immédiatement supérieur.
Fréquence d'un événement : modélise chaque épreuve par une indicatrice de Bernoulli. La fréquence observée est M_n, avec E(M_n)=p et V(M_n)=\dfrac{p(1-p)}{n}.
La moyenne d'un échantillon est l'objet central de la loi des grands nombres. Le résultat clé est que V(M_n)=\dfrac{\sigma^2}{n} tend vers 0 quand n\to+\infty : la moyenne se concentre de plus en plus autour de \mu. C'est ce qui justifie l'estimation d'une espérance inconnue par une moyenne observée, principe de base de la statistique et des sondages. Soigne le passage somme \to moyenne (facteur \frac{1}{n} pour l'espérance, \frac{1}{n^2} pour la variance) : c'est la manipulation la plus testée, et l'apparition du \frac{1}{n^2} dans la variance, compensé par le n de V(S_n), est le point délicat à maîtriser.
Enfin, retiens la règle pratique « diviser l'incertitude par 2 coûte 4 fois plus de mesures » : elle illustre la décroissance en \frac{1}{\sqrt{n}} et tombe régulièrement dans les exercices d'estimation et de dimensionnement. Garde aussi en tête que E(M_n)=\mu ne dépend jamais de n, ce qui exprime que la moyenne est un estimateur « bien centré » : seule sa dispersion diminue. La maîtrise conjointe de E(M_n) constant et de V(M_n) décroissant est exactement ce qui prépare la démonstration de la loi des grands nombres, et c'est ce raisonnement que les correcteurs récompensent dans les exercices de fin de thème. En contrôle, prends l'habitude de toujours écrire la formule littérale (E(M_n)=\mu, V(M_n)=\frac{\sigma^2}{n}, \sigma(M_n)=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}) avant l'application numérique : cela structure ta copie et limite les erreurs de calcul. Enfin, dans un problème de fréquence, n'oublie pas que la moyenne d'indicatrices de Bernoulli est précisément la fréquence observée, avec E(M_n)=p et V(M_n)=\frac{p(1-p)}{n} : c'est le cadre exact des sondages que tu retrouveras dans les chapitres de concentration.