Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes
Les opérations sur les limites de fonctions suivent les mêmes règles que pour les suites. Quand le résultat a un sens :
Somme : \lim(f+g)=\lim f+\lim g.
Produit : \lim(fg)=\lim f\times\lim g.
Quotient : \lim\dfrac{f}{g}=\dfrac{\lim f}{\lim g} si \lim g\ne 0.
Formules
Polynôme en \pm\infty : la limite est celle de son monôme de plus haut degré.
Quotient de polynômes en \pm\infty : limite du quotient des termes dominants.
Quatre FI : \infty-\infty, 0\times\infty, \dfrac{\infty}{\infty}, \dfrac{0}{0}.
Méthodes type bac
Polynôme : factoriser par le monôme dominant, montrer que le facteur entre parenthèses tend vers le coefficient dominant.
Quotient de polynômes : factoriser numérateur et dénominateur par leur terme dominant, simplifier.
Asymptote oblique d'une fraction rationnelle : effectuer la division pour écrire f(x)=(ax+b)+\dfrac{\text{reste}}{\dots}.
Pièges
\dfrac{\infty}{\infty} n'est jamais égal à 1 : c'est une FI à lever.
En -\infty, attention au signe : x^3\to-\infty mais x^2\to+\infty.
Vérifier que le dénominateur ne tend pas vers 0 avant d'appliquer la règle du quotient.
Exemple complet. Pour f(x)=\dfrac{4x^2-1}{2x^2+x} en +\infty : forme \dfrac{\infty}{\infty}. On factorise par x^2 : f(x)=\dfrac{x^2\left(4-\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(2+\frac1x\right)}=\dfrac{4-\frac{1}{x^2}}{2+\frac1x}\to\dfrac{4}{2}=2. La courbe admet donc l'asymptote horizontale y=2. Quand le degré du numérateur dépasse d'une unité celui du dénominateur, la division euclidienne fait apparaître une asymptote oblique au lieu d'une horizontale.
Pour l'épreuve
Le terme dominant est l'outil de référence pour les polynômes et fractions rationnelles. Annonce toujours la FI puis factorise. La division pour faire apparaître une asymptote oblique est un attendu fréquent des sujets de fractions rationnelles. Garde en tête la règle des degrés : numérateur de degré strictement supérieur donne une limite infinie, degré inférieur donne 0, degrés égaux donnent le rapport des coefficients dominants.