Opérations sur les limites de suite.

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Les opérations sur les limites permettent de combiner des limites connues. Quand les résultats ont un sens, on a :

  • Somme : \lim(u_n+v_n)=\lim u_n+\lim v_n.
  • Produit : \lim(u_n v_n)=\lim u_n\times\lim v_n.
  • Quotient : \lim\dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{\lim u_n}{\lim v_n} si le dénominateur ne tend pas vers 0.

Règles avec l'infini : \ell+(+\infty)=+\infty ; \ell\times(+\infty)=+\infty si \ell>0 ; \dfrac{1}{\pm\infty}=0 ; \dfrac{1}{0^+}=+\infty.

Formules

Les quatre formes indéterminées (FI), où les règles ne suffisent pas : \infty-\infty,\qquad 0\times\infty,\qquad \dfrac{\infty}{\infty},\qquad \dfrac{0}{0}. Devant une FI, il faut transformer l'expression (factorisation, terme dominant, conjugué) avant de conclure.

Méthodes type bac

  • Terme dominant : pour \dfrac{P(n)}{Q(n)} (polynômes), factoriser par la plus haute puissance de n au numérateur et au dénominateur, simplifier, puis passer à la limite.
  • Polynôme seul : factoriser par le monôme de plus haut degré, qui donne le comportement à l'infini.
  • Appliquer les règles : pour des limites non indéterminées, enchaîner directement somme, produit, quotient.

Pièges

  • \dfrac{1}{0} n'est pas une FI mais demande le signe de 0^+ ou 0^- pour conclure (+\infty ou -\infty).
  • Ne pas écrire « =\dfrac{\infty}{\infty}=1 » : c'est une FI, jamais un résultat.
  • Vérifier que le dénominateur ne tend pas vers 0 avant d'appliquer la règle du quotient.

Exemple complet. Pour u_n=\dfrac{2n^2+n}{n^2+3}, numérateur et dénominateur tendent vers +\infty : forme \dfrac{\infty}{\infty}. On factorise par n^2 : u_n=\dfrac{n^2\left(2+\frac1n\right)}{n^2\left(1+\frac{3}{n^2}\right)}=\dfrac{2+\frac1n}{1+\frac{3}{n^2}}. Comme \frac1n\to 0 et \frac{3}{n^2}\to 0, le numérateur tend vers 2 et le dénominateur vers 1, donc u_n\to 2. La factorisation a fait disparaître l'indétermination.

Pour l'épreuve

Annonce toujours la FI rencontrée (« on est en présence d'une forme \dfrac{\infty}{\infty} »), puis applique la factorisation par le terme dominant. C'est l'attendu phare des limites de suites quotients de polynômes : le correcteur veut voir la FI identifiée puis levée proprement. Retiens la règle express : pour un quotient de polynômes en n, la limite ne dépend que des termes de plus haut degré.