Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : \vec{u}\cdot\vec{v}=0. En repere orthonorme, cela s'ecrit xx'+yy'+zz'=0. Cette caracterisation algebrique remplace avantageusement toute consideration d'angle.
Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Attention a une subtilite propre a l'espace : deux droites orthogonales ne sont pas necessairement secantes. Lorsqu'elles sont a la fois orthogonales et secantes, on dit qu'elles sont perpendiculaires. Cette distinction n'existe pas dans le plan, ou orthogonal et perpendiculaire sont synonymes.
Une droite est orthogonale a un plan si son vecteur directeur est orthogonal a deux vecteurs directeurs non colineaires du plan ; il est alors colineaire a un vecteur normal du plan. C'est le pont vers la notion de vecteur normal.
Montrer une orthogonalite. Calculer le produit scalaire des directeurs et verifier qu'il est nul.
Determiner un parametre. Ecrire la condition \vec{u}\cdot\vec{v}=0 : on obtient une equation lineaire dans l'inconnue.
Prouver qu'un triangle est rectangle. Tester \vec{AB}\cdot\vec{AC}=0 au sommet candidat.
Montrer qu'une droite est orthogonale a un plan. Verifier que son directeur est orthogonal a deux vecteurs directeurs non colineaires du plan.
Soit A\,(1\,;0\,;1), B\,(3\,;2\,;1), C\,(2\,;-1\,;3). On calcule \vec{AB}=(2\,;2\,;0) et \vec{AC}=(1\,;-1\,;2), puis \vec{AB}\cdot\vec{AC}=2-2+0=0. Le produit scalaire est nul, donc le triangle ABC est rectangle en A. Noter que les deux droites (AB) et (AC) sont ici secantes en A : elles sont donc perpendiculaires, et pas seulement orthogonales. Dans l'espace, on reserve le mot perpendiculaire au cas ou les droites se coupent ; sinon on dit orthogonales. Cette nuance de vocabulaire est attendue dans la redaction du bac.
L'orthogonalite se ramene systematiquement a un produit scalaire nul : c'est le reflexe a avoir. Dans un cube, garde a l'esprit que trois aretes issues d'un sommet sont deux a deux orthogonales, ce qui justifie le repere orthonorme et accelere tous les calculs. Pour une orthogonalite droite-plan, deux produits scalaires nuls (avec deux directeurs du plan non colineaires) suffisent et constituent la redaction attendue.