Permutation d’un ensemble fini

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Soit E un ensemble fini à n éléments. Une permutation de E est un classement ordonné de tous les éléments de E : c'est une liste ordonnée (x_1, \dots, x_n) où chaque élément de E apparaît une et une seule fois.

Théorème (nombre de permutations). Le nombre de permutations d'un ensemble à n éléments est n! (factorielle de n).

La factorielle est définie par n! = n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1 pour n \geqslant 1, avec la convention 0! = 1. La preuve du théorème est multiplicative : n choix pour la première place, n-1 pour la deuxième, …, 1 pour la dernière.

Une permutation est un cas particulier d'arrangement : A_n^n = \dfrac{n!}{0!} = n!.

Formules à connaître

  • Nombre de permutations de n objets distincts : n!.
  • n! = n \times (n-1)! ; 0! = 1.
  • Valeurs utiles : 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5\,040.
  • Méthode du bloc : p objets groupés parmi n donnent (n-p+1)! \times p! rangements.

Méthodes type bac

Reconnaître une permutation. « Ranger tous les … », « classer toutes les … sans ex aequo », « anagrammes de lettres distinctes » : on ordonne tous les éléments, donc n!.

Fixer un élément. Pour imposer un élément à une place donnée, on le fixe et on permute les n-1 restants : (n-1)!.

Méthode du bloc (objets adjacents). Pour garder un groupe de p objets côte à côte, on les considère comme un seul bloc : on permute alors n-p+1 objets, puis les p objets à l'intérieur du bloc. On multiplie ces deux nombres.

Pièges fréquents

  • Oublier la permutation interne du bloc. Le bloc se réordonne lui-même : multiplier par p!.
  • Lettres répétées. Pour des anagrammes avec lettres identiques (ex. « MATHEMATIQUES »), n! surcompte ; ce cas dépasse le programme strict, mais attention à bien vérifier que toutes les lettres sont distinctes avant d'écrire n!.
  • 0! = 1, pas 0 : utile pour rester cohérent avec A_n^n = n!.

Pour l'épreuve

Le réflexe : « ranger tous les objets distincts \Rightarrow n! ». Pour les contraintes d'adjacence, dessine le bloc et n'oublie jamais le p! interne. Les factorielles grandissent très vite : garde la forme n! jusqu'au calcul final et appuie-toi sur les valeurs mémorisées (6! = 720, 7! = 5\,040) pour vérifier l'ordre de grandeur.