Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Un plan de l'espace est determine par trois points non alignes, ou de facon equivalente par un point A et deux vecteurs non colineaires \vec{u} et \vec{v}, appeles vecteurs directeurs du plan.
Un point M appartient au plan \mathcal{P} passant par A dirige par \vec{u} et \vec{v} si et seulement si \vec{AM} est combinaison lineaire de \vec{u} et \vec{v} : il existe deux reels a et b tels que \vec{AM}=a\vec{u}+b\vec{v}. On dit alors que \vec{AM}, \vec{u}, \vec{v} sont coplanaires.
Verifier que trois points forment un plan. Calculer \vec{AB}, \vec{AC}, montrer qu'ils ne sont pas colineaires.
Tester l'appartenance d'un point a un plan. Ecrire \vec{AM}=a\vec{u}+b\vec{v}, resoudre deux equations pour a et b, puis verifier la troisieme. Compatible \Rightarrow le point est dans le plan ; incompatible \Rightarrow il n'y est pas.
Soit le plan \mathcal{P} passant par A\,(1\,;0\,;2) dirige par \vec{u}\,(1\,;1\,;0) et \vec{v}\,(0\,;1\,;1), et le point M\,(2\,;2\,;3). On teste \vec{AM}=a\vec{u}+b\vec{v} avec \vec{AM}=(1\,;2\,;1) : le systeme est a=1, a+b=2, b=1. De la premiere a=1, de la troisieme b=1, et la deuxieme verifie 1+1=2. Compatible : M appartient au plan. Si la deuxieme avait echoue, M n'aurait pas ete dans le plan. Cette demarche, identique au test de coplanarite de vecteurs, est l'outil central de tout le chapitre et merite d'etre automatisee.
Le test d'appartenance a un plan repose, comme pour la combinaison lineaire, sur un systeme de trois equations a deux inconnues. La methode est systematique : deux equations donnent a et b, la troisieme confirme ou infirme. Choisis le repere du cube quand c'est possible : les plans des faces deviennent x, y ou z constant, et tout se lit immediatement. En guise de bilan, retiens que tout le chapitre repose sur la meme idee : un plan est un objet a deux degres de liberte, decrit par deux vecteurs directeurs ou par trois points. Chaque question d'appartenance se ramene donc a chercher deux coefficients et a verifier la coherence sur la troisieme coordonnee. Cette uniformite est rassurante : une seule methode bien maitrisee couvre presque toutes les situations rencontrees a l'examen.