Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes
Un point d'inflexion de la courbe \mathcal{C}_f est un point en lequel f change de convexité : la fonction passe de convexe à concave, ou de concave à convexe. Graphiquement, en un point d'inflexion la courbe traverse sa tangente.
Caractérisation (pour f deux fois dérivable) : la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse a si et seulement si f'' s'annule en changeant de signe en a.
Formules à connaître
Condition nécessaire : si a est l'abscisse d'un point d'inflexion, alors f''(a)=0.
Condition suffisante : si f''(a)=0 et f'' change de signe en a, alors a est l'abscisse d'un point d'inflexion.
Coordonnées du point : \big(a\,;f(a)\big).
Tangente au point d'inflexion : y=f(a)+f'(a)(x-a) ; la courbe la traverse.
Méthodes type bac
Déterminer un point d'inflexion : calculer f'', résoudre f''(x)=0, vérifier le changement de signe, puis calculer f(a) pour les coordonnées.
Justifier rigoureusement : ne jamais conclure à un point d'inflexion à partir de f''(a)=0 seul ; toujours étudier le signe de f'' de part et d'autre.
Modèles logistiques : le point d'inflexion donne le moment de croissance la plus rapide (vitesse maximale), utile en SVT, économie, épidémiologie.
Exemple détaillé : pour f(x)=x^3-6x^2+9x+1, on a f'(x)=3x^2-12x+9 et f''(x)=6x-12=6(x-2). La dérivée seconde s'annule en x=2 en changeant de signe (négative avant, positive après), donc la courbe passe de concave à convexe : le point d'inflexion a pour abscisse 2 et pour ordonnée f(2)=8-24+18+1=3, soit I(2\,;3).
Pièges fréquents
Erreur classique : croire que f''(a)=0 \Rightarrow point d'inflexion. Faux : pour f(x)=x^4, f''(0)=0 mais f''(x)=12x^2 ne change pas de signe, donc pas d'inflexion.
Confondre point d'inflexion (changement de convexité, lié à f'') et extremum (changement de variation, lié à f'). En un extremum la courbe rebrousse ; en un point d'inflexion elle traverse sa tangente sans rebrousser.
Oublier de calculer l'ordonnée f(a) : un point d'inflexion a deux coordonnées, pas seulement une abscisse.
Ne pas justifier le changement de signe : se contenter de f''(a)=0 est insuffisant et coûte les points.
Pour l'épreuve
La question « montrer que la courbe admet un point d'inflexion et donner ses coordonnées » revient très souvent. La rédaction attendue se déroule en trois temps : f''(a)=0, puis f'' change de signe en a (étude de signe de part et d'autre), donc point d'inflexion \big(a\,;f(a)\big). Bien insister sur le changement de signe, c'est le point noté. Dans les modèles de croissance (logistique, propagation, refroidissement), savoir interpréter le point d'inflexion comme l'instant de variation la plus rapide est régulièrement valorisé.