Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Une droite d et un plan \mathcal{P} de l'espace sont dans l'une des trois positions suivantes : d est incluse dans \mathcal{P}, d est strictement parallele a \mathcal{P} (aucun point commun), ou d est secante a \mathcal{P} (un unique point commun).
Le critere central utilise un vecteur normal \vec{n} du plan et un vecteur directeur \vec{u} de la droite. La droite est parallele au plan (incluse ou strictement) si et seulement si \vec{u}\cdot\vec{n}=0. Si \vec{u}\cdot\vec{n}\neq 0, la droite est secante au plan.
Etudier la position d'une droite et d'un plan. Calculer \vec{u}\cdot\vec{n}. Si le produit est nul, la droite est parallele : tester alors un point de la droite pour savoir si elle est incluse ou strictement parallele. Si le produit est non nul, la droite est secante : substituer x, y, z de la representation parametrique dans l'equation du plan, resoudre l'equation en t, puis calculer le point d'intersection.
Soit le plan \mathcal{P} : x+2y-z-1=0 et la droite d par A\,(1\,;0\,;0) de directeur \vec{u}\,(1\,;-1\,;1). Le normal est \vec{n}\,(1\,;2\,;-1) et \vec{n}\cdot\vec{u}=1-2-1=-2\neq 0 : la droite est secante. On parametre x=1+t, y=-t, z=t et on substitue : (1+t)+2(-t)-t-1=0 donne -2t=0 soit t=0, d'ou le point (1\,;0\,;0)=A. Si le produit scalaire avait ete nul, on aurait teste un point pour distinguer droite incluse et droite strictement parallele. Cette dichotomie produit-scalaire-nul ou non est le reflexe a mobiliser des le debut.
Le produit scalaire directeur-normale est le reflexe a avoir. Un produit nul renvoie au test d'un point ; un produit non nul mene directement a la substitution. La substitution dans l'equation du plan donne toujours une equation lineaire en t : une seule inconnue, donc une seule solution dans le cas secant. Garde les fractions exactes pour les coordonnees du point d'intersection. Enfin, rappelle-toi que la position d'une droite et d'un plan se decide entierement avec un seul produit scalaire et, au besoin, le test d'un point. C'est une demarche courte et payante : deux ou trois lignes de calcul suffisent a trancher entre les trois positions possibles. Soigne la phrase de conclusion en nommant la position obtenue et en donnant le point d'intersection lorsque la droite est secante au plan.