Positions relatives de deux droites de l'espace

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Definitions et theoremes

Dans l'espace, deux droites peuvent etre coplanaires (contenues dans un meme plan) ou non coplanaires. C'est la grande nouveaute par rapport au plan : deux droites non paralleles peuvent ne jamais se couper.

Cas coplanaires : secantes (exactement un point commun), strictement paralleles (meme direction, aucun point commun), confondues (memes points). Cas non coplanaire : ni paralleles, ni secantes.

Deux droites sont paralleles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colineaires.

Formules a connaitre

  • Colinearite des directeurs \vec{u} et \vec{v} : test de proportionnalite des coordonnees (produits croises nuls).
  • Intersection : resoudre A+t\vec{u}=B+s\vec{v}, systeme de 3 equations a 2 inconnues t et s.

Methodes type bac

Classer deux droites. Etape 1 : les vecteurs directeurs sont-ils colineaires ? Si oui, droites paralleles ; tester si un point de l'une est sur l'autre (confondues sinon strictement paralleles). Si non, etape 2 : chercher l'intersection en resolvant le systeme ; resoudre deux equations, puis verifier la troisieme. Si elle est satisfaite, droites secantes (donner le point) ; sinon, droites non coplanaires.

Pieges frequents

  • Oublier le cas non coplanaire et conclure "secantes" sans verifier la 3e equation.
  • Resoudre les trois equations comme un systeme classique : ici il y a 2 inconnues seulement, la 3e est un test.
  • Confondre "non paralleles" et "secantes" : non parallele n'implique pas secante dans l'espace.

Exemple guide

Soit d par A\,(0\,;0\,;0) de directeur \vec{u}\,(1\,;1\,;0) et d' par B\,(1\,;0\,;1) de directeur \vec{v}\,(0\,;1\,;1). Les directeurs ne sont pas colineaires, donc les droites ne sont pas paralleles. On cherche l'intersection : A+t\vec{u}=B+s\vec{v} donne t=1, t=s, 0=1+s. De la troisieme, s=-1 ; de la deuxieme, t=-1 ; mais la premiere exige t=1. Contradiction : pas de point commun. Non paralleles et non secantes, les droites sont donc non coplanaires. Ce cas, impossible dans le plan, est la nouveaute du chapitre et le piege classique : il faut toujours verifier la troisieme equation avant de conclure a une intersection.

Pour l'epreuve

Adopte toujours la meme demarche en deux temps (parallelisme d'abord, intersection ensuite). Note bien les parametres t et s distincts pour chaque droite : utiliser la meme lettre est l'erreur classique qui fausse tout. La verification de la troisieme equation est ce qui rapporte les points et evite la conclusion fausse "secantes". Une remarque de methode pour finir : lorsque tu redigeras la conclusion, nomme explicitement la position obtenue parmi les quatre possibles (secantes, strictement paralleles, confondues, non coplanaires) plutot que de te contenter d'un calcul brut. Le correcteur attend une phrase de synthese qui interprete le resultat numerique. Pense aussi a donner les coordonnees du point d'intersection lorsqu'il existe, car une conclusion incomplete coute des points meme si le calcul est juste.