Positions relatives de deux plans de l’espace

Formules a connaitre

• Parallelisme : \vec{n}_1 et \vec{n}_2 colineaires.
• Confondus : equations proportionnelles (coefficients ET second membre dans le meme rapport).
• Intersection : systeme de deux equations a trois inconnues, parametre par z=t.

Methodes type bac

Etudier la position de deux plans. Comparer les normaux. S'ils sont colineaires, regarder si les equations sont proportionnelles : oui \Rightarrow confondus, non \Rightarrow strictement paralleles. S'ils ne sont pas colineaires, les plans sont secants.

Parametrer la droite d'intersection. Poser z=t, reporter dans les deux equations pour obtenir un systeme 2\times 2 en x et y, le resoudre en fonction de t. La representation parametrique (x(t), y(t), t) donne directement un vecteur directeur en lisant les coefficients de t.

Pieges frequents

• Conclure "paralleles" sans distinguer confondus de strictement paralleles.
• Pour les plans confondus, oublier de verifier le second membre : seuls les coefficients proportionnels ne suffisent pas.
• Choisir une variable a parametrer qui rend le systeme insoluble (par ex. si elle n'apparait pas) : changer de variable au besoin.

Exemple guide

Soit \mathcal{P}_1 : x+y+z=1 et \mathcal{P}_2 : x-y+z=3. Les normaux \vec{n}_1\,(1\,;1\,;1) et \vec{n}_2\,(1\,;-1\,;1) ne sont pas colineaires : plans secants. On parametre l'intersection avec z=t : x+y=1-t et x-y=3-t. La somme donne 2x=4-2t soit x=2-t, la difference 2y=-2 soit y=-1. Representation : x=2-t, y=-1, z=t ; vecteur directeur \vec{w}\,(-1\,;0\,;1). On verifie \vec{w}\cdot\vec{n}_1=-1+0+1=0 et \vec{w}\cdot\vec{n}_2=-1+0+1=0 : le directeur est bien orthogonal aux deux normaux, ce qui valide le calcul.

Pour l'epreuve

La comparaison des normaux est la premiere chose a faire. Pour l'intersection, le choix de la variable a poser egale a t est libre : prends celle qui simplifie le systeme. Verifie a la fin que ton vecteur directeur est bien orthogonal aux deux normaux (deux produits scalaires nuls) : c'est un controle rapide et fiable. Pour terminer, note que l'etude de deux plans se reduit a une comparaison de normaux suivie, le cas echeant, d'un parametrage d'intersection. La droite obtenue est l'objet que l'on reutilise ensuite dans les questions de distance ou de projete. Veille a toujours nommer clairement la position des plans et a fournir une representation parametrique complete de la droite d'intersection quand l'enonce la demande.