Primitives d'une fonction continue : définition

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

# Primitives d'une fonction continue : définition

Définitions et théorèmes

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que F est une primitive de f sur I lorsque : - F est dérivable sur I, - pour tout x \in I, F'(x) = f(x).

Autrement dit, primitiver est l'opération réciproque de dériver : F' = f.

Théorème d'existence. Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I. (La continuité est l'hypothèse clé : on ne primitive que des fonctions continues.)

Théorème (ensemble des primitives). Si F est une primitive de f sur I, alors l'ensemble des primitives de f sur I est exactement l'ensemble des fonctions de la forme x \mapsto F(x) + C, où C \in \mathbb{R}.

Démonstration de l'unicité à une constante près. Si F et G sont deux primitives de f sur I, on pose H = G - F. Alors H'(x) = f(x) - f(x) = 0 sur I. Or une fonction dérivable de dérivée nulle sur un intervalle est constante : il existe k tel que G = F + k.

Théorème (primitive imposant une condition). Pour f continue sur I, x_0 \in I et y_0 \in \mathbb{R}, il existe une unique primitive F de f sur I telle que F(x_0) = y_0.

Formules à connaître

  • Vérifier que F est une primitive de f : calculer F' et constater F' = f.
  • Forme générale d'une primitive : F(x) + C, C \in \mathbb{R}.

Méthodes type bac

1. Vérifier une primitive : on dérive F et on compare à f. Exemple : F(x) = (2x - 3)\mathrm{e}^x a pour dérivée (2x - 1)\mathrm{e}^x. 2. Trouver la primitive vérifiant F(x_0) = y_0 : on écrit F(x) + C, on remplace x par x_0, on résout F(x_0) + C = y_0 pour obtenir C. 3. Primitive d'un produit du type (ax+b)\mathrm{e}^x : on cherche une primitive de la même forme et on identifie les coefficients après dérivation.

Pièges fréquents

  • Une fonction définie sur une réunion d'intervalles (par exemple \frac{1}{x} sur \mathbb{R}^*) peut avoir des constantes différentes sur chaque intervalle : on raisonne intervalle par intervalle.
  • Ne pas oublier la constante +C : « une primitive » et « la primitive » ne sont pas synonymes.
  • La continuité garantit l'existence, pas une expression explicite : certaines primitives ne s'écrivent pas avec les fonctions usuelles.

Pour l'épreuve

Sache énoncer la définition (F' = f), le théorème d'existence (continuité), et l'unicité à une constante près. La détermination de la constante via une condition initiale tombe à chaque sujet. Toujours préciser l'intervalle de travail.