Primitives des fonctions composées

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

# Primitives des fonctions composées

Définitions et théorèmes

Les formules de dérivation des composées se lisent « à l'envers » pour obtenir des primitives. Soit u une fonction dérivable sur I.

| Forme de f | Une primitive F | Condition | |---|---|---| | u' u^n (n \neq -1) | \dfrac{u^{n+1}}{n+1} | | | \dfrac{u'}{u} | \ln(u) | u > 0 sur I | | \dfrac{u'}{\sqrt{u}} | 2\sqrt{u} | u > 0 sur I | | u'\,\mathrm{e}^{u} | \mathrm{e}^{u} | | | u'\cos(u) | \sin(u) | | | u'\sin(u) | -\cos(u) | |

Justification. Par dérivation des composées : \left(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\right)' = u' u^n, \big(\ln u\big)' = \dfrac{u'}{u}, \big(\mathrm{e}^u\big)' = u'\mathrm{e}^u, etc.

Formules à connaître

  • u' u^n \to \dfrac{u^{n+1}}{n+1}
  • \dfrac{u'}{u} \to \ln u
  • u'\mathrm{e}^u \to \mathrm{e}^u
  • \dfrac{u'}{\sqrt u} \to 2\sqrt u et \dfrac{u'}{u^2} \to -\dfrac{1}{u}

Méthodes type bac

1. Identifier u. Repérer la fonction « emboîtée » (sous l'exponentielle, sous la racine, au dénominateur, élevée à une puissance). 2. Calculer u' et vérifier que f contient u' en facteur. 3. Ajuster la constante. Si f = k\cdot u' u^n, la primitive est k\cdot \dfrac{u^{n+1}}{n+1}. Exemple : pour \dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}, on a u' = 2x et f = \frac12 \cdot \dfrac{u'}{\sqrt u}, primitive \sqrt{x^2+4}. 4. Conclure et fixer C si une condition est donnée, et vérifier en dérivant.

Détaillons un exemple. Pour f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}, on repère u(x) = x^2 + 4 sous la racine, avec u'(x) = 2x. Or f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{u}} = \dfrac12\cdot\dfrac{2x}{\sqrt{u}} = \dfrac12\cdot\dfrac{u'}{\sqrt{u}}. Comme \dfrac{u'}{\sqrt{u}} a pour primitive 2\sqrt{u}, on obtient F(x) = \dfrac12\times 2\sqrt{u} = \sqrt{x^2+4}. Le facteur \frac12 a permis de « fabriquer » exactement u' au numérateur.

Pièges fréquents

  • Oublier le facteur correctif quand u' n'apparaît pas exactement : il faut forcer la constante multiplicative k pour reconstituer u'.
  • Confondre u' u^n \to \frac{u^{n+1}}{n+1} avec la formule sans composée x^n \to \frac{x^{n+1}}{n+1}.
  • Pour \dfrac{u'}{u} \to \ln u, vérifier le signe de u ; écrire \ln|u| si u peut être négatif sur l'intervalle considéré.
  • Signe pour u'\sin(u) \to -\cos(u) : ne pas oublier le moins.
  • Croire qu'on peut « sortir » une fonction du numérateur ou du dénominateur sans qu'elle soit exactement u' : seul un facteur constant se rattrape.

Pour l'épreuve

C'est l'outil n°1 pour les intégrales « non immédiates ». Le réflexe gagnant : poser u, calculer u', et reconnaître la forme parmi les six du tableau. Un facteur multiplicatif se rattrape toujours par une constante ; un facteur variable manquant signifie que la forme n'est pas reconnaissable et qu'il faut une autre méthode (intégration par parties par exemple). Sache vérifier ta primitive en la dérivant : c'est la garantie zéro erreur, et cela ne coûte que quelques secondes.