Primitives des fonctions usuelles

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

# Primitives des fonctions usuelles

Définitions et théorèmes

À chaque dérivée usuelle correspond une primitive. On lit le tableau « à l'envers ».

| Fonction f(x) | Une primitive F(x) | Intervalle | |---|---|---| | x^n (n \in \mathbb{Z}, n \neq -1) | \dfrac{x^{n+1}}{n+1} | \mathbb{R} ou ]0\,;+\infty[ | | \dfrac{1}{x} | \ln x | ]0\,;+\infty[ | | \dfrac{1}{\sqrt{x}} | 2\sqrt{x} | ]0\,;+\infty[ | | \mathrm{e}^x | \mathrm{e}^x | \mathbb{R} | | \cos x | \sin x | \mathbb{R} | | \sin x | -\cos x | \mathbb{R} |

Pour une puissance réelle x^{\alpha} avec \alpha \neq -1 (sur ]0\,;+\infty[), la même formule s'applique : primitive \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}.

Formules à connaître

  • \displaystyle \int x^n\,\text{(primitive)} = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}, n \neq -1.
  • Primitive de \dfrac{1}{x} : \ln|x|.
  • Primitive de \mathrm{e}^x : \mathrm{e}^x.
  • Primitives de \cos et \sin : \sin x et -\cos x.

Combinées à la linéarité, elles permettent de primitiver tout polynôme, toute combinaison de \frac{1}{x^n}, \sqrt{x}, \mathrm{e}^x, \cos, \sin.

Méthodes type bac

1. Réécrire en puissances. \dfrac{a}{x^n} = a\,x^{-n}, \sqrt{x} = x^{1/2}, \dfrac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}. On applique ensuite \dfrac{x^{p+1}}{p+1}. 2. Primitiver terme à terme grâce à la linéarité. 3. Fixer la constante avec la condition imposée (F(x_0) = y_0 ou « passe par A »). 4. Vérifier en dérivant la primitive trouvée.

Exemple complet : pour f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{2}{x^3} sur ]0\,;+\infty[, on réécrit f(x) = x^{-1/2} + 2x^{-3}. La primitive de x^{-1/2} est \dfrac{x^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x} ; celle de 2x^{-3} est 2\times\dfrac{x^{-2}}{-2} = -\dfrac{1}{x^2}. Donc F(x) = 2\sqrt{x} - \dfrac{1}{x^2} + C. On vérifie en dérivant : F'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{2}{x^3} = f(x).

Pièges fréquents

  • Signe : la primitive de \sin x est -\cos x (et non +\cos x). C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
  • Le cas n = -1 est interdit dans la formule \frac{x^{n+1}}{n+1} (le dénominateur n+1 s'annule) : pour \frac{1}{x} la primitive est \ln, pas une puissance.
  • Domaine de \ln et de \sqrt{x} : ]0\,;+\infty[. Préciser l'intervalle systématiquement.
  • Oublier de diviser : la primitive de x^5 est \frac{x^6}{6}, pas x^6 ; celle de \mathrm{e}^{2x} est \frac12\mathrm{e}^{2x}, pas \mathrm{e}^{2x}.

Pour l'épreuve

Ce tableau doit être su par cœur : il est l'ossature de tous les calculs d'intégrales. Le réflexe « réécrire en puissances avant de primitiver » fait gagner du temps et évite les erreurs. Toujours conclure par la constante et, si demandé, sa détermination. Quand un coefficient apparaît devant la variable (comme dans \mathrm{e}^{kx} ou \cos(kx)), n'oublie pas le facteur correctif \frac1k, que l'on étudiera en détail avec les fonctions composées. Vérifier la primitive par dérivation reste la garantie d'un calcul juste.