Principes additifs et multiplicatifs

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Le dénombrement repose sur deux principes fondamentaux.

Principe additif. Si un résultat peut se produire selon des cas A_1, A_2, \dots, A_p deux à deux incompatibles, alors le nombre total de résultats est la somme des cardinaux : \mathrm{Card}(A_1) + \dots + \mathrm{Card}(A_p). C'est la traduction du « SOIT … SOIT … ».

Principe multiplicatif. Si une construction s'effectue par une succession de k étapes offrant respectivement n_1, n_2, \dots, n_k possibilités (le nombre de choix à chaque étape ne dépend pas des choix antérieurs), alors le nombre total de constructions est n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k. C'est la traduction du « ET … puis … ».

Formules à connaître

  • Mots de longueur k sur un alphabet de n symboles, avec répétition : n^k.
  • Produit cartésien : \mathrm{Card}(E_1 \times \dots \times E_k) = \mathrm{Card}(E_1) \times \dots \times \mathrm{Card}(E_k).
  • Nombre de parties d'un ensemble à n éléments : 2^n (chaque élément est « dedans » ou « dehors », soit 2 choix par élément).

Méthodes type bac

Dessiner un arbre des choix. Chaque niveau de l'arbre correspond à une étape. Le nombre de feuilles est le produit des nombres de branches niveau par niveau : c'est le principe multiplicatif visualisé.

Découper en cas exclusifs. Quand l'énoncé impose des contraintes (par exemple « le premier symbole est une lettre OU un chiffre »), on partitionne en cas incompatibles, on dénombre chacun par le principe multiplicatif, puis on additionne.

Passer au complémentaire. Pour « au moins un … », il est presque toujours plus rapide de calculer le total puis de retrancher le nombre de cas « aucun … ».

Pièges fréquents

  • Confondre additif et multiplicatif. Repère bien si les choix s'enchaînent (multiplie) ou s'excluent (additionne).
  • Oublier la répétition. « Avec répétition » donne n^k ; « sans répétition » donne un arrangement (le nombre de choix diminue à chaque étape).
  • Double comptage. Si les cas ne sont pas vraiment exclusifs, l'addition compte certains résultats deux fois : utilise alors le crible.

Pour l'épreuve

Avant tout calcul, écris en français la phrase « je choisis d'abord …, puis … » : elle te dit s'il faut multiplier. Si l'énoncé contient « au moins », pense systématiquement au complémentaire. Garde tes puissances sous forme n^k jusqu'au bout, puis donne la valeur numérique. Ces principes sont la base de tous les calculs d'arrangements, de permutations et de combinaisons qui suivent.