Produit scalaire de deux vecteurs de l’espace

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Definitions et theoremes

Le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace se definit, comme dans le plan, de plusieurs facons equivalentes. La definition geometrique est \vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta, ou \theta est l'angle entre les deux vecteurs. Dans un repere orthonorme, on dispose de l'expression analytique \vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz', qui est la formule de calcul a privilegier dans la quasi-totalite des exercices.

Le produit scalaire d'un vecteur avec lui-meme donne le carre de sa norme : \vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2=x^2+y^2+z^2, d'ou \|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. C'est l'outil pour calculer des longueurs et des distances dans l'espace.

Le produit scalaire est symetrique (\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}) et bilineaire : il se distribue sur l'addition et sort les coefficients, exactement comme un produit. Ces proprietes permettent de developper \|\vec{u}+\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2, formule tres utile.

Formules a connaitre

  • Analytique : \vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'.
  • Norme : \|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.
  • Angle : \cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}.
  • Orthogonalite : \vec{u}\cdot\vec{v}=0.
  • Developpement : \|\vec{u}+\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2.

Methodes type bac

Calculer un produit scalaire. En repere orthonorme, appliquer directement xx'+yy'+zz'. Si on connait les normes et l'angle, utiliser \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta.

Trouver un angle. Calculer \vec{u}\cdot\vec{v} et les deux normes, puis \cos\theta, et conclure avec la calculatrice (en degres).

Montrer une orthogonalite. Calculer le produit scalaire et verifier qu'il vaut 0.

Pieges frequents

  • Utiliser la formule analytique dans un repere qui n'est pas orthonorme : c'est faux.
  • Oublier le carre dans la norme ou la racine carree a la fin.
  • Confondre le signe : un produit scalaire negatif signifie un angle obtus, ce n'est pas une erreur.
  • Croire qu'un produit scalaire egal a 1 signifie orthogonalite : seule la valeur 0 caracterise l'orthogonalite.

Exemple guide

Soit \vec{u}\,(1\,;2\,;2) et \vec{v}\,(2\,;-1\,;2). On calcule \vec{u}\cdot\vec{v}=2-2+4=4, puis \|\vec{u}\|=\sqrt{1+4+4}=3 et \|\vec{v}\|=\sqrt{4+1+4}=3. Donc \cos\theta=\dfrac{4}{9}, soit \theta\approx 64^\circ a la calculatrice. Le produit scalaire etant positif, l'angle est aigu, ce qui est coherent. Si l'on avait trouve un produit nul, les vecteurs auraient ete orthogonaux ; negatif, l'angle aurait ete obtus. Cette lecture du signe est un controle rapide a ne pas negliger. Le produit scalaire est l'outil unique qui relie longueurs, angles et orthogonalite dans tout le theme.

Pour l'epreuve

Le produit scalaire est l'outil de mesure de tout le theme : longueurs, angles, orthogonalite, distances en decoulent. Verifie toujours que le repere est orthonorme avant d'employer xx'+yy'+zz' ; c'est presque toujours le cas, mais l'enonce le precise. Pour un angle, garde les valeurs exactes le plus longtemps possible et n'arrondis qu'a la fin. Le developpement de \|\vec{u}+\vec{v}\|^2 sert dans de nombreuses demonstrations : apprends-le par coeur.