Projeté orthogonal d’un point sur un plan de l’espace

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Definitions et theoremes

Le projete orthogonal H d'un point M sur un plan \mathcal{P} est l'unique point de \mathcal{P} tel que \vec{MH} soit colineaire a un vecteur normal du plan, c'est-a-dire tel que la droite (MH) soit orthogonale a \mathcal{P}. C'est le point de \mathcal{P} le plus proche de M : pour tout autre point P du plan, MP\geqslant MH. La distance de M a \mathcal{P} vaut MH.

On dispose en outre d'une formule directe : pour un plan d'equation ax+by+cz+d=0, d(M,\mathcal{P})=\dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.

Formules a connaitre

  • Droite de projection : (MH) passe par M, directeur \vec{n}\,(a\,;b\,;c).
  • H = intersection de cette droite avec le plan.
  • Distance : d(M,\mathcal{P})=\dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.

Methodes type bac

Determiner le projete orthogonal sur un plan. Ecrire la representation parametrique de la droite (MH) passant par M de directeur le normal \vec{n}. Injecter dans l'equation du plan, resoudre en t, remplacer pour obtenir H.

Calculer une distance point-plan. Soit par le projete (calcul de MH), soit directement par la formule. Les deux doivent coincider.

Pieges frequents

  • Prendre un vecteur directeur du plan au lieu du normal pour la droite de projection.
  • Oublier la valeur absolue au numerateur de la formule de distance.
  • Se tromper dans le denominateur \sqrt{a^2+b^2+c^2} (norme du normal).

Exemple guide

Soit M\,(3\,;1\,;2) et \mathcal{P} : 2x-2y+z-3=0. Par la formule, d(M,\mathcal{P})=\dfrac{|2(3)-2(1)+2-3|}{\sqrt{4+4+1}}=\dfrac{|6-2+2-3|}{3}=\dfrac{3}{3}=1. Pour retrouver le projete, on suit la droite x=3+2t, y=1-2t, z=2+t et on impose l'appartenance au plan : 2(3+2t)-2(1-2t)+(2+t)-3=0 donne 9t+3=0 soit t=-\dfrac{1}{3}, d'ou H\,\left(\dfrac{7}{3}\,;\dfrac{5}{3}\,;\dfrac{5}{3}\right) et MH=1. Les deux methodes concordent : c'est le controle ideal a poser quand le temps le permet.

Pour l'epreuve

Deux methodes coexistent : le projete (plus long mais donne le point H) et la formule de distance (rapide mais ne donne que la distance). Choisis selon ce qui est demande. Si l'enonce veut le point, passe par la droite de projection ; s'il veut seulement la distance, la formule suffit. Utilise l'autre methode comme verification quand tu as le temps : c'est un controle precieux contre les erreurs de calcul. Pour conclure, le projete orthogonal sur un plan et la distance point-plan sont deux faces d'une meme situation geometrique. La formule de distance offre un raccourci precieux quand seul le nombre importe, tandis que le projete fournit le point lui-meme, souvent reutilise dans la suite de l'exercice. Disposer des deux approches et savoir les croiser pour se controler est un atout decisif le jour de l'epreuve.