Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Le projete orthogonal H d'un point M sur une droite d est l'unique point de d tel que la droite (MH) soit orthogonale a d. C'est aussi le point de d le plus proche de M : pour tout autre point P de la droite, MP\geqslant MH. La distance de M a la droite d est par definition MH.
La caracterisation de travail combine deux conditions : H appartient a d, et \vec{MH} est orthogonal a un vecteur directeur \vec{u} de d, soit \vec{MH}\cdot\vec{u}=0. Ces deux conditions determinent H de maniere unique.
Determiner le projete orthogonal. Parametrer H=A+t\vec{u}, calculer \vec{MH} en fonction de t, ecrire \vec{MH}\cdot\vec{u}=0, resoudre l'equation lineaire en t, puis remplacer pour obtenir H.
Calculer une distance point-droite. Apres avoir trouve H, calculer la norme de \vec{MH}.
Soit d par A\,(0\,;0\,;0) de directeur \vec{u}\,(1\,;2\,;2) et M\,(3\,;0\,;0). On ecrit H=(t\,;2t\,;2t), donc \vec{MH}=(t-3\,;2t\,;2t). La condition \vec{MH}\cdot\vec{u}=0 donne (t-3)+4t+4t=0 soit 9t-3=0, t=\dfrac{1}{3}. Alors H\,\left(\dfrac{1}{3}\,;\dfrac{2}{3}\,;\dfrac{2}{3}\right) et \vec{MH}=\left(-\dfrac{8}{3}\,;\dfrac{2}{3}\,;\dfrac{2}{3}\right), de norme MH=\sqrt{\dfrac{64+4+4}{9}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}. Ce projete est le point de la droite le plus proche de M : c'est ce qui justifie qu'il serve a definir la distance point-droite.
La methode est mecanique et tres rentable : parametrer, calculer \vec{MH}, annuler \vec{MH}\cdot\vec{u}, resoudre, puis calculer la norme. Garde les fractions exactes : les distances font souvent apparaitre des racines du type \dfrac{\sqrt{6}}{3}. Rappelle dans ta redaction que le projete realise le minimum de distance, c'est ce qui justifie qu'on l'utilise pour la distance point-droite. Pour conclure, le projete orthogonal sur une droite illustre parfaitement la puissance du produit scalaire : une seule condition d'orthogonalite suffit a localiser le point le plus proche. Cette idee se generalise immediatement au projete sur un plan, ou seule la nature du vecteur de projection change. Apprends bien cette methode, car les questions de distance dans l'espace en decoulent presque toujours directement a l'examen. Un dernier conseil de redaction : enonce clairement les deux conditions qui definissent le projete, a savoir que le point cherche appartient a la droite et que le vecteur qui le relie au point de depart est orthogonal au vecteur directeur. Cette double caracterisation est ce que le correcteur attend de voir avant le calcul. Pense aussi a justifier, ne serait-ce qu'en une phrase, que le projete est le point de la droite le plus proche, car c'est precisement cette propriete de minimum qui legitime son emploi pour mesurer une distance.