Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
La fonction \ln vérifie une équation fonctionnelle : pour tous réels a > 0 et b > 0, \ln(ab) = \ln a + \ln b. C'est la propriété fondamentale ; toutes les autres en découlent. Le logarithme transforme les produits en sommes, ce qui explique son intérêt historique pour le calcul.
\ln est continue et strictement croissante sur ]0\ ;+\infty[, donc injective : pour a, b > 0, \ln a = \ln b \iff a = b et \ln a < \ln b \iff a < b.
Pour a > 0, b > 0, n \in \mathbb{Z} (et plus généralement r \in \mathbb{R}) : \ln(ab) = \ln a + \ln b, \qquad \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b, \ln\!\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln a, \qquad \ln(a^{n}) = n\ln a, \qquad \ln(\sqrt{a}) = \dfrac{1}{2}\ln a.
Simplifier une expression. On décompose les arguments en produits, quotients et puissances de nombres simples (souvent des puissances de e), puis on applique les formules. Exemple : \ln(e^2) + \ln\!\left(\tfrac{1}{e}\right) + 3\ln(\sqrt{e}) = 2 - 1 + \tfrac{3}{2} = \tfrac{5}{2}.
Résoudre une équation « somme de \ln ». On regroupe : \ln x + \ln(x+2) = \ln 3 devient \ln\!\big(x(x+2)\big) = \ln 3, donc par injectivité x(x+2) = 3. On résout l'équation polynomiale, puis on élimine les solutions hors de l'ensemble de définition.
Résoudre une inéquation exponentielle. Pour q^n \geqslant k, on prend le \ln : n\ln q \geqslant \ln k. Attention au signe de \ln q : si 0 < q < 1, alors \ln q < 0 et diviser inverse l'inégalité.
Demi-vie / temps de doublement. Avec un modèle u(t) = u_0\,q^{t}, on isole q^t puis on passe au logarithme. La demi-vie est T = \dfrac{\ln 2}{-\ln q} (avec 0<q<1).
Les trois formules produit / quotient / puissance sont incontournables et tombent à chaque sujet (croissance de population, capital, radioactivité, pH). Réflexe de calcul : pour un seuil du type « combien de temps pour atteindre / doubler / diviser par deux », on isole l'exponentielle ou la puissance, puis on applique \ln en surveillant le signe de \ln q.