Propriétés des intégrales

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

# Propriétés des intégrales

Définitions et théorèmes

Soit f et g continues sur un intervalle contenant a, b, c.

Relation de Chasles. \int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x + \int_b^c f(x)\,\mathrm{d}x. Elle reste valable quel que soit l'ordre des bornes, avec la convention \int_b^a f = -\int_a^b f.

Linéarité. Pour tous réels \alpha,\beta : \int_a^b \big(\alpha f(x) + \beta g(x)\big)\,\mathrm{d}x = \alpha\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x + \beta\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x.

Positivité. Si a \leq b et f \geq 0 sur [a\,;b], alors \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \geq 0.

Croissance (comparaison). Si a \leq b et f \leq g sur [a\,;b], alors \int_a^b f \leq \int_a^b g.

Inégalité de la moyenne. Si m \leq f(x) \leq M sur [a\,;b] (avec a \leq b), alors m(b - a) \leq \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leq M(b - a).

Formules à connaître

  • Chasles, linéarité, positivité, croissance, inégalité de la moyenne (ci-dessus).
  • \int_a^a f = 0, \int_b^a f = -\int_a^b f.
  • Parité : f impaire \Rightarrow \int_{-a}^a f = 0 ; f paire \Rightarrow \int_{-a}^a f = 2\int_0^a f.

Méthodes type bac

1. Découper avec Chasles pour réunir ou séparer des intervalles. 2. Distribuer avec la linéarité : sortir les coefficients, séparer les sommes. 3. Encadrer une intégrale dont on ne sait pas calculer la valeur, via positivité ou inégalité de la moyenne. 4. Exploiter la parité pour éviter un calcul (intégrale d'une fonction impaire sur un intervalle symétrique = 0).

Exemple d'usage de Chasles et de la linéarité combinées : si \int_0^2 f = 5 et \int_2^7 f = 3, alors \int_0^7 f = 8 ; et \int_1^4 (3f + g) = 3\int_1^4 f + \int_1^4 g. Exemple d'encadrement : si 0 \leq f(x) \leq 2 sur [0\,;3], alors 0 \leq \int_0^3 f \leq 2\times 3 = 6, sans rien calculer. Ces manipulations sont au cœur des questions de raisonnement du chapitre.

Pièges fréquents

  • La positivité et la croissance exigent a \leq b : avec des bornes inversées, l'inégalité change de sens.
  • L'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales : \int fg \neq \int f \times \int g.
  • Une intégrale nulle n'implique pas f = 0 en général (sauf si f garde un signe constant et reste continue).
  • Confondre « f impaire » (\int_{-a}^a f = 0) et « f paire » (\int_{-a}^a f = 2\int_0^a f).
  • Appliquer la linéarité à un produit ou à un quotient : elle ne vaut que pour les combinaisons \alpha f + \beta g.

Pour l'épreuve

Ces propriétés servent à manipuler des intégrales sans les calculer : démonstrations, encadrements, valeurs moyennes. La positivité combinée à F' = f donne des résultats fins, comme « l'intégrale nulle d'une fonction continue positive entraîne que la fonction est nulle ». Vérifie toujours l'ordre des bornes avant d'écrire une inégalité de comparaison, et n'hésite pas à exploiter la parité pour court-circuiter un calcul sur un intervalle symétrique.