Propriétés des primitives

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

# Propriétés des primitives

Définitions et théorèmes

On part du fait que F est une primitive de f sur I lorsque F' = f sur I. Les propriétés ci-dessous découlent de la linéarité de la dérivation.

Propriété (linéarité). Soient u et v continues sur I, de primitives U et V, et a, b \in \mathbb{R}. Alors : - U + V est une primitive de u + v ; - aU est une primitive de au ; - plus généralement, aU + bV est une primitive de au + bv.

Démonstration. (aU + bV)' = aU' + bV' = au + bv. C'est immédiat à partir des règles de dérivation.

Lien signe / variation. Puisque F' = f, le signe de f donne directement les variations de F : F est croissante sur les intervalles où f \geq 0, décroissante là où f \leq 0.

Attention : pas de formule produit. Contrairement à la dérivation, il n'existe pas de règle simple donnant une primitive de uv à partir de celles de u et v. On dispose plus tard de l'intégration par parties.

Formules à connaître

  • Primitive de au + bv : aU + bV.
  • Tangente à la courbe d'une primitive en a : y = f(a)(x - a) + F(a).

Méthodes type bac

1. Décomposer puis primitiver terme à terme. Pour f(x) = 3\mathrm{e}^x - \frac{4}{x}, on primitive séparément : 3\mathrm{e}^x et 4\ln x. 2. Réécrire avant de primitiver. \frac{2}{x^2} = 2x^{-2}, \frac{1}{2\sqrt{x}} a pour primitive \sqrt{x}. Mettre sous forme de puissances facilite le travail. 3. Imposer une condition pour fixer la constante C. 4. Étudier F via f : signe de f \Rightarrow variations de F ; valeur de f \Rightarrow pente de la tangente à \mathcal{C}_F.

Concrètement, pour f(x) = 3\mathrm{e}^x - \frac{4}{x} + 6x^2, on primitive chaque terme : 3\mathrm{e}^x \to 3\mathrm{e}^x, \frac{4}{x} \to 4\ln x, 6x^2 \to 2x^3, et l'on rassemble en une seule expression suivie de +C. Cette décomposition systématique évite toute erreur de méthode.

Pièges fréquents

  • Croire qu'on primitive un produit en multipliant les primitives : faux. Il n'existe aucune règle du type « primitive de uv = produit des primitives ». On y reviendra avec l'intégration par parties.
  • Oublier que la primitive de \frac{1}{x} est \ln x uniquement sur ]0\,;+\infty[ (sinon \ln |x|). Le domaine doit toujours être précisé avant d'écrire une primitive de \frac1x ou de \sqrt{x}.
  • Une seule constante +C pour toute la combinaison linéaire, pas une par terme : ajouter une constante à chaque morceau reviendrait au même mais alourdit inutilement la rédaction.
  • Confondre le signe du coefficient : la primitive de -3\sin x est +3\cos x, celle de -5\mathrm{e}^x est -5\mathrm{e}^x.

Pour l'épreuve

La linéarité est l'outil de base : on décompose, on primitive chaque morceau, on ajoute C, on fixe C par la condition donnée. Le lien F' = f permet aussi d'étudier les variations de F ou d'écrire une tangente sans connaître l'expression explicite de F'. Un point souvent rapporté en fin d'exercice : « justifier le sens de variation de F » se traite par le signe de f, sans calcul supplémentaire. Pense à toujours vérifier ta primitive en la dérivant : c'est gratuit et cela élimine la majorité des erreurs de calcul.