Propriétés du coefficient binomial

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Le coefficient binomial \binom{n}{k} (nombre de combinaisons de k parmi n) vérifie plusieurs propriétés fondamentales.

Symétrie. Pour 0 \leqslant k \leqslant n : \dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}. Choisir k éléments à garder revient à choisir les n-k éléments à exclure.

Relation de Pascal. Pour 0 \leqslant k \leqslant n-1 : \dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}. Interprétation : parmi les parties à k+1 éléments d'un ensemble à n+1 éléments, on sépare celles qui contiennent un élément fixé (\binom{n}{k}) de celles qui ne le contiennent pas (\binom{n}{k+1}).

Formule du binôme de Newton. Pour tous réels a, b et tout entier n : (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}.

Formules à connaître

  • \dbinom{n}{0} = \dbinom{n}{n} = 1 ; \dbinom{n}{1} = \dbinom{n}{n-1} = n.
  • Symétrie : \dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}.
  • Pascal : \dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}.
  • Somme d'une ligne : \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k} = 2^n.
  • Binôme de Newton : (a+b)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k} a^k b^{n-k}.

Méthodes type bac

Construire le triangle de Pascal. On commence chaque ligne par 1, on termine par 1, et chaque terme interne est la somme des deux termes immédiatement au-dessus (relation de Pascal). C'est la méthode la plus sûre pour obtenir des coefficients sans factorielle.

Démontrer Pascal. On réduit \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} au même dénominateur (k+1)!\,(n-k)! en factorisant n!, puis on reconnaît (n+1)! = n!\,(n+1).

Utiliser le binôme. Pour développer (a+b)^n ou retrouver des sommes (\sum \binom{n}{k} = 2^n avec a=b=1 ; \sum (-1)^k \binom{n}{k} = 0 avec a=-1, b=1).

Pièges fréquents

  • Indices de Pascal. Bien aligner : \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1} (le bas augmente de 1 avec le haut).
  • Exposants dans le binôme. Les exposants de a et b ont pour somme n : a^k b^{n-k}.
  • Oublier la symétrie. Toujours calculer le coefficient avec le plus petit des deux indices (\binom{49}{47} = \binom{49}{2}).

Pour l'épreuve

Connais par cœur la symétrie, Pascal, et la somme 2^n. Le triangle de Pascal est ton outil de calcul mental le plus fiable. La formule du binôme apparaît régulièrement, parfois pour justifier les coefficients de la loi binomiale ; sache l'écrire et l'appliquer avec a=p, b=1-p pour vérifier que \sum_k \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = 1.

Les démonstrations de la symétrie et de la relation de Pascal sont des questions de cours fréquentes : entraîne-toi à les rédiger proprement à partir de la définition \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}. Pour Pascal, l'étape clé est la réduction au même dénominateur, en multipliant chaque fraction par le facteur manquant ; pour la symétrie, il suffit de remplacer k par n-k dans la formule et de constater que l'expression est inchangée. Ces coefficients structurent tout le chapitre de probabilités qui suit : ce sont eux qui apparaissent dans la loi binomiale, et la relation de Pascal correspond exactement à la construction d'un arbre où l'on distingue, à la dernière épreuve, un succès d'un échec. Garde donc en tête le double sens, algébrique et combinatoire, de chacune de ces propriétés.