Rappels sur la notion de variable aléatoire

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Une variable aléatoire (réelle) X est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. La loi de probabilité de X est la donnée, pour chaque valeur x_i prise par X, de la probabilité P(X = x_i). Ces probabilités sont positives et leur somme vaut 1.

Espérance. L'espérance de X est la moyenne des valeurs pondérée par les probabilités : E(X) = \sum_{i} x_i\, P(X = x_i). C'est la valeur « moyenne » de X sur un grand nombre de répétitions.

Variance et écart-type. La variance mesure la dispersion : V(X) = E\big((X - E(X))^2\big) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2 \quad \text{(formule de Kœnig-Huygens)}, et l'écart-type est \sigma(X) = \sqrt{V(X)}.

Formules à connaître

  • E(X) = \displaystyle\sum_i x_i\, P(X = x_i).
  • V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2, avec E(X^2) = \displaystyle\sum_i x_i^2\, P(X = x_i).
  • \sigma(X) = \sqrt{V(X)}.
  • Linéarité : E(aX + b) = a\,E(X) + b.
  • V(aX + b) = a^2\, V(X) ; \sigma(aX + b) = |a|\,\sigma(X).

Méthodes type bac

Dresser la loi. On liste les valeurs prises par X, puis on calcule chaque P(X = x_i). On vérifie systématiquement que la somme des probabilités vaut 1 (cela permet de trouver une probabilité manquante).

Calculer E, V, \sigma. On applique les formules ; pour la variance, la formule de Kœnig-Huygens E(X^2) - (E(X))^2 est presque toujours plus rapide que la définition.

Jeu équitable. Un jeu est équitable lorsque l'espérance du gain algébrique est nulle : E(G) = 0.

Pièges fréquents

  • Somme des probabilités. Toujours vérifier qu'elle vaut 1.
  • Oublier le carré dans E(X^2). On élève chaque valeur au carré, pas la probabilité.
  • Variance d'une transformation. V(aX+b) = a^2 V(X) : la constante b disparaît et le coefficient a est au carré.
  • Espérance vs probabilité. E(X) n'est pas forcément une valeur prise par X.

Pour l'épreuve

Maîtrise parfaitement le tableau de loi, E(X), V(X), \sigma(X) : ce sont les outils de base réutilisés pour la loi de Bernoulli et la loi binomiale. La linéarité de l'espérance et la formule V(aX+b) = a^2 V(X) sont fréquemment testées. À la calculatrice, sache entrer une loi et lire directement l'espérance et l'écart-type pour vérifier tes calculs.

Dans un exercice de jeu d'argent, l'espérance du gain algébrique donne le gain moyen par partie sur le long terme : une espérance positive avantage le joueur, négative l'avantage l'organisateur, nulle correspond à un jeu équitable. On te demande souvent d'interpréter ce résultat en français, alors entraîne-toi à formuler une phrase claire. Pense aussi à utiliser la transformation affine aX+b pour passer d'une variable « brute » (un numéro, un nombre de pas) à une variable « utile » (un gain, une distance) : l'espérance se transforme linéairement, mais la variance se multiplie par a^2 et l'écart-type par |a|. Ne confonds jamais ces deux comportements, c'est l'erreur la plus pénalisée du chapitre.