Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
La representation parametrique d'une droite traduit la relation \vec{AM}=t\vec{u} en coordonnees. Pour une droite passant par A\,(x_A\,;y_A\,;z_A) de vecteur directeur \vec{u}\,(a\,;b\,;c) : \begin{cases}x=x_A+at\\ y=y_A+bt\\ z=z_A+ct\end{cases}\quad t\in\mathbb{R}. Chaque valeur du parametre t donne un point de la droite ; reciproquement tout point de la droite correspond a une valeur de t.
La representation n'est pas unique : changer de point de reference ou de vecteur directeur colineaire donne une autre representation de la meme droite.
Ecrire une representation. Identifier un point et un vecteur directeur, ecrire les trois lignes.
Tester l'appartenance d'un point. Resoudre une egalite pour t, verifier que ce t convient aux deux autres.
Etudier le parallelisme de deux droites. Comparer les vecteurs directeurs.
Intersection avec un plan. Substituer x, y, z dans l'equation cartesienne du plan et resoudre en t.
Soit la droite (AB) avec A\,(1\,;-1\,;2) et B\,(3\,;1\,;2). Le directeur est \vec{AB}=(2\,;2\,;0), d'ou la representation x=1+2t, y=-1+2t, z=2 avec t\in\mathbb{R}. La constance de z signale que la droite est contenue dans le plan z=2. Pour tester si M\,(5\,;3\,;2) est sur la droite, on resout 1+2t=5 soit t=2, puis on verifie y=-1+4=3 (vrai) et z=2 (vrai) : M appartient bien a la droite. Une seule valeur de t doit convenir aux trois lignes, c'est la condition a retenir absolument.
La representation parametrique est l'objet central pour intersecter une droite avec un plan ou une autre droite. Le reflexe : isoler t sur l'equation la plus simple, puis verifier. Pour l'intersection avec un plan, la substitution donne toujours une equation lineaire en t a une seule solution dans le cas secant. Pense a indiquer t\in\mathbb{R}, c'est attendu dans la redaction. Pour conclure, la representation parametrique est sans doute l'outil le plus reutilise de tout le theme : elle intervient dans l'intersection avec un plan, dans le calcul d'un projete et dans l'etude de la position de deux droites. Apprends a l'ecrire et a la lire instantanement, et n'oublie jamais de preciser le domaine du parametre. Une representation soignee est souvent le point de depart de toute une question.