Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Trois conditions le caractérisent :
1. chaque épreuve n'a que deux issues (succès / échec) ; 2. la probabilité de succès p est la même à chaque épreuve (épreuves identiques) ; 3. les épreuves sont indépendantes.
Ses paramètres sont n (nombre d'épreuves) et p (probabilité de succès).
Probabilité d'une issue. On modélise le schéma par un arbre pondéré à n niveaux identiques. Un chemin comportant k succès et n-k échecs a pour probabilité, par indépendance : p^k (1-p)^{n-k}. Le nombre de chemins comportant exactement k succès est \dbinom{n}{k} (façons de placer les k succès parmi n épreuves). En sommant, on obtient la loi du nombre de succès X : P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, qui est la loi binomiale \mathcal{B}(n, p).
Vérifier les trois conditions. Avant d'appliquer la loi binomiale, justifie que l'expérience est un schéma de Bernoulli : deux issues, même p, indépendance. C'est une question de rédaction très souvent évaluée.
Tracer l'arbre pour les petits n. Pour n = 2 ou 3, l'arbre permet de retrouver à la main les probabilités, en multipliant le long des chemins et en additionnant les chemins équivalents.
Compter les chemins. Le nombre de chemins à k succès est \binom{n}{k} : c'est le pont entre le dénombrement et les probabilités.
Le schéma de Bernoulli relie directement le dénombrement (coefficients \binom{n}{k}) et la loi binomiale. Apprends à rédiger la vérification des trois conditions, c'est une question de cours classique. L'arbre pondéré reste l'outil de visualisation : un chemin a pour probabilité p^k(1-p)^{n-k}, et il y a \binom{n}{k} chemins à k succès. La formule de la loi binomiale en découle directement.
La vérification des trois conditions est attendue à la lettre : deux issues par épreuve, même probabilité de succès à chaque répétition, indépendance des épreuves. Une seule de ces conditions manquante (typiquement un tirage sans remise qui rend les épreuves dépendantes et fait varier p) interdit d'appliquer la loi binomiale, et c'est précisément le piège que les sujets aiment tendre. Entraîne-toi donc à rédiger cette justification en trois points avant tout calcul. Pour les petites valeurs de n, construis l'arbre complet et compte les chemins à la main : tu retrouveras le coefficient \binom{n}{k} par simple dénombrement, ce qui ancre la compréhension de la formule. Ce va-et-vient entre l'arbre concret et la formule générale est la clé pour aborder sereinement la loi binomiale.