Somme d'un échantillon

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Un échantillon de taille n est une suite X_1,X_2,\dots,X_n de variables aléatoires indépendantes et de même loi (celle d'une variable mère X, d'espérance \mu=E(X) et de variance \sigma^2=V(X)). On modélise ainsi n répétitions indépendantes d'une même expérience.

La somme de l'échantillon est S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n.

Formules à connaître

E(S_n)=nE(X)=n\mu (par linéarité de l'espérance).
V(S_n)=nV(X)=n\sigma^2 (par additivité de la variance pour des variables indépendantes).
\sigma(S_n)=\sqrt{nV(X)}=\sigma(X)\sqrt{n}=\sigma\sqrt{n}.

Cas particulier essentiel : si chaque X_i suit une loi de Bernoulli de paramètre p, alors S_n suit la loi binomiale \mathcal{B}(n\,;p), avec E(S_n)=np et V(S_n)=np(1-p).

Méthodes type bac

Calculer E et V d'une somme : applique directement E(S_n)=n\mu et V(S_n)=n\sigma^2. Pour l'écart-type, calcule la variance puis prends la racine ; ne fais jamais \sigma(S_n)=n\sigma(X).

Reconnaître une binomiale : si l'énoncé compte le nombre de succès sur n épreuves identiques et indépendantes (Pile/Face, pièce défectueuse, succès/échec), la somme des indicatrices suit \mathcal{B}(n\,;p).

Comparer E et \sigma : retiens que E(S_n) grandit en n alors que \sigma(S_n) ne grandit qu'en \sqrt{n}. C'est l'intuition derrière la loi des grands nombres.

Pièges fréquents

Écrire \sigma(S_n)=n\sigma(X) : faux, c'est \sigma(X)\sqrt{n}.
Utiliser V(S_n)=nV(X) sans signaler l'indépendance des X_i.
Oublier le facteur (1-p) dans la variance de la binomiale : V(S_n)=np(1-p).
Confondre la somme S_n et la moyenne M_n=S_n/n (chapitre suivant).

Pour l'épreuve

La somme d'un échantillon est le pont entre la loi binomiale (somme de Bernoulli) et la loi des grands nombres. Les deux formules E(S_n)=n\mu et V(S_n)=n\sigma^2 sont à connaître par cœur et à justifier (linéarité pour l'espérance, indépendance pour la variance). Pense à toujours repasser par la variance pour calculer un écart-type : c'est l'erreur la plus fréquente, car beaucoup d'élèves écrivent à tort \sigma(S_n)=n\sigma(X).

Le fait que \sigma(S_n) croisse seulement en \sqrt{n} explique, dans le chapitre suivant, pourquoi la moyenne M_n se concentre autour de \mu : la variance de la moyenne, \dfrac{\sigma^2}{n}, tend vers 0. Garde cette progression logique en tête, elle structure tout le thème de l'échantillonnage. Une vérification rapide te protège des erreurs : si chaque X_i est une indicatrice de Bernoulli, la somme doit redonner exactement les formules de la loi binomiale, E(S_n)=np et V(S_n)=np(1-p). Quand un énoncé parle de « nombre total » sur n répétitions, pense à S_n ; quand il parle de « moyenne » ou de « fréquence », pense à M_n=S_n/n. Bien distinguer ces deux objets t'évite la confusion la plus pénalisante du chapitre et te fait gagner des points en cascade sur tout l'exercice.