Succession d'épreuves indépendantes

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Une succession d'épreuves indépendantes est une suite d'expériences aléatoires telles que le résultat de chaque épreuve n'influence pas les résultats des autres.

Propriété fondamentale. La probabilité d'une issue d'une succession d'épreuves indépendantes (c'est-à-dire d'une liste précise de résultats) est égale au produit des probabilités de chacun de ces résultats : P\big((r_1, r_2, \dots, r_n)\big) = P(r_1) \times P(r_2) \times \dots \times P(r_n).

On modélise cette situation par un arbre pondéré : à chaque niveau, on répète les mêmes branches (si les épreuves sont identiques), et la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités le long de ce chemin.

Rappel sur l'indépendance. Deux événements A et B sont indépendants lorsque P(A \cap B) = P(A) \times P(B).

Formules à connaître

  • Probabilité d'une issue : P(r_1, \dots, r_n) = \prod_{i=1}^{n} P(r_i).
  • A, B indépendants : P(A \cap B) = P(A) \times P(B).
  • « Au moins un » : P(\text{au moins un}) = 1 - P(\text{aucun}).
  • Nombre d'issues d'une succession de n épreuves à m résultats : m^n.

Méthodes type bac

Construire l'arbre. On dessine un arbre dont chaque niveau correspond à une épreuve. On multiplie les probabilités le long d'un chemin pour obtenir la probabilité d'une issue, et on additionne les probabilités des chemins menant à un même événement.

Reconnaître l'indépendance. « Tirage avec remise », « lancers successifs d'un dé / d'une pièce », « capteurs / composants indépendants » : on est dans une succession d'épreuves indépendantes, donc on multiplie.

Passer au complémentaire. Pour « au moins un succès », calcule 1 - P(\text{aucun}), où P(\text{aucun}) est un simple produit.

Pièges fréquents

  • Tirage sans remise. Sans remise, les épreuves ne sont pas indépendantes : on ne peut plus multiplier des probabilités constantes (il faut des probabilités conditionnelles).
  • Confondre « et » et « ou ». Le long d'un chemin (« et ») on multiplie ; entre chemins distincts (« ou ») on additionne.
  • « Au moins un » \neq « exactement un ». Le complémentaire de « au moins un » est « aucun », pas « exactement un ».

Pour l'épreuve

L'arbre pondéré reste l'outil de référence : il visualise le produit (chemins) et la somme (événements). Vérifie toujours que les épreuves sont bien indépendantes (avec remise, dispositifs séparés). Le réflexe « au moins un = 1 - aucun » fait gagner du temps. Cette notion est la base directe du schéma de Bernoulli et de la loi binomiale étudiés ensuite.

Quand tu rédiges, justifie explicitement l'indépendance avant de multiplier : c'est une exigence du barème, et l'oubli de cette justification coûte des points même si le calcul est juste. Pour les situations à plusieurs dispositifs (capteurs, composants, joueurs), traite chaque probabilité de succès séparément, puis combine par produit pour « tous » et par complémentaire pour « au moins un ». Enfin, distingue bien deux questions voisines mais différentes : « au moins un succès » a pour contraire « aucun succès », tandis que « exactement un succès » est un événement plus restreint qui se calcule en sommant les chemins comportant un seul succès. Cette vigilance sur la traduction des énoncés est exactement ce qui fait la différence entre une copie sûre et une copie approximative.