Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Dans l'espace, une droite peut etre decrite comme l'intersection de deux plans non paralleles, ce qui se traduit par un systeme de deux equations cartesiennes : \begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0\\ a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\end{cases} Pour que ce systeme decrive bien une droite, il faut que les vecteurs normaux \vec{n}_1\,(a_1\,;b_1\,;c_1) et \vec{n}_2\,(a_2\,;b_2\,;c_2) ne soient pas colineaires (sinon les plans sont paralleles).
Un point appartient a la droite si et seulement si ses coordonnees verifient les deux equations. Le vecteur directeur de la droite est orthogonal aux deux normaux.
Passer du parametrique au cartesien. Exprimer t depuis une ligne, puis l'eliminer en le reportant dans les deux autres : on obtient deux equations cartesiennes.
Passer du cartesien au parametrique. Poser une variable egale a t (souvent z=t), reporter dans les deux equations, resoudre le systeme 2\times 2 en x et y ; lire ensuite le point et le directeur.
Tester une appartenance. Verifier les deux equations ; si l'une echoue, le point n'est pas sur la droite.
Soit la droite \begin{cases}x+y-z=2\\ x-y+z=0\end{cases}. Les normaux \vec{n}_1\,(1\,;1\,;-1) et \vec{n}_2\,(1\,;-1\,;1) ne sont pas colineaires : c'est bien une droite. On parametre avec z=t : x+y=2+t et x-y=-t. La somme donne 2x=2 soit x=1, la difference 2y=2+2t soit y=1+t. Representation : x=1, y=1+t, z=t ; directeur \vec{u}\,(0\,;1\,;1). On controle \vec{u}\cdot\vec{n}_1=0+1-1=0 et \vec{u}\cdot\vec{n}_2=0-1+1=0. Savoir circuler entre forme cartesienne et parametrique dans les deux sens est une competence centrale et tres testee.
Sache passer dans les deux sens entre representation parametrique et systeme cartesien : c'est une competence souvent testee. Le choix de la variable a poser egale a t est libre, prends la plus simple. Pour un vecteur directeur, la representation parametrique le livre directement via les coefficients de t ; tu peux verifier qu'il est bien orthogonal aux deux normaux. Pour conclure, sache que le passage entre representation parametrique et systeme cartesien est l'une des conversions les plus testees du programme. Les deux ecritures decrivent le meme objet sous deux angles complementaires : l'une privilegie le mouvement le long de la droite, l'autre la voit comme une intersection de plans. Etre a l'aise dans les deux sens te rend autonome face a n'importe quelle formulation d'enonce.