Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Définitions et théorèmes
Les théorèmes de comparaison déterminent une limite en encadrant la suite par d'autres dont on connaît la limite.
Théorème des gendarmes (encadrement) : si v_n\le u_n\le w_n à partir d'un certain rang et si \lim v_n=\lim w_n=\ell (fini), alors \lim u_n=\ell.
Comparaison vers +\infty : si u_n\ge v_n et \lim v_n=+\infty, alors \lim u_n=+\infty.
Comparaison vers -\infty : si u_n\le v_n et \lim v_n=-\infty, alors \lim u_n=-\infty.
Les inégalités larges se conservent par passage à la limite : u_n\le v_n (avec limites) entraîne \lim u_n\le\lim v_n.
Formules
Encadrements de base : -1\le\sin n\le 1, -1\le\cos n\le 1, -1\le(-1)^n\le 1. Variante en valeur absolue : si |u_n-\ell|\le w_n avec w_n\to 0, alors u_n\to\ell.
Méthodes type bac
Gendarmes avec terme borné : pour \dfrac{\sin n}{n} ou \dfrac{(-1)^n}{n}, encadrer le numérateur borné puis diviser par la suite qui tend vers l'infini.
Minoration/majoration vers l'infini : pour n+\cos n, minorer par n-1 qui tend vers +\infty.
Valeur absolue : transformer |u_n-\ell|\le w_n en encadrement.
Pièges
Les deux gendarmes doivent avoir la même limite finie : sinon le théorème ne s'applique pas.
Pour une limite infinie, une seule inégalité suffit (minorer pour +\infty, majorer pour -\infty).
Les inégalités strictes ne se conservent pas forcément : à la limite, on obtient des inégalités larges.
Pour l'épreuve
Le réflexe « terme borné + suite vers l'infini » doit déclencher l'usage des gendarmes. Écris l'encadrement de départ, fais tendre les bornes, conclus en nommant le théorème. La variante |u_n-\ell|\le w_n\to 0 apparaît souvent dans les sujets avec suites définies par une inégalité.