Théorème des valeurs intermédiaires

Formules à connaître

• Condition de changement de signe : f(a)\,f(b) < 0 suffit pour conclure à une racine dans ]a\,;b[.
• Extension par les limites : si f est continue sur ]a\,;b[ avec \lim\limits_{x \to a^+} f = L_a et \lim\limits_{x \to b^-} f = L_b, tout réel k entre L_a et L_b est atteint.

Méthodes type bac

1. Existence d'une solution : vérifier la continuité de f (souvent comme somme, produit, quotient ou composée de fonctions continues), calculer f(a) et f(b), constater que k (le plus souvent 0) est compris entre ces deux valeurs, puis conclure « d'après le TVI, l'équation admet au moins une solution dans ]a\,;b[ ». 2. Plusieurs racines d'un polynôme : appliquer le TVI sur des sous-intervalles bien choisis où f change de signe ; un polynôme de degré 3 peut ainsi présenter jusqu'à trois racines réelles, repérées par des changements de signe successifs. 3. Encadrement à la calculatrice : balayer avec un pas adapté à l'amplitude demandée (au dixième, au centième) jusqu'à isoler l'intervalle où f change de signe ; le tableau de valeurs de la calculatrice est l'outil prévu par l'énoncé.

Pièges fréquents

• Oublier de justifier la continuité : c'est l'hypothèse qui rend le théorème valable, jamais facultative. Une fonction discontinue peut « sauter » par-dessus la valeur k.
• Conclure à l'unicité avec le seul TVI : le théorème brut ne donne que l'existence ; l'unicité exige la stricte monotonie (voir le corollaire).
• Mal lire « k compris entre f(a) et f(b) » : l'ordre de f(a) et f(b) n'est pas imposé, et k peut être négatif comme positif.
• Confondre « au moins une solution » et « exactement une solution » : sans monotonie, plusieurs racines peuvent exister dans l'intervalle.

Pour l'épreuve

Le TVI est l'un des théorèmes les plus rentables : une question du type « montrer que l'équation f(x) = 0 admet une solution » se traite en trois lignes. Mémorise la phrase type : « f est continue sur [a\,;b] et f(a)\,f(b) < 0, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans ]a\,;b[. » Quand l'énoncé demande l'unicité, enchaîne immédiatement avec la stricte monotonie issue du signe de f' : c'est le passage au corollaire. Enfin, pour un encadrement, indique clairement les deux valeurs calculées à la calculatrice qui entourent la solution et le changement de signe observé.