Théorème du point fixe

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Définitions et théorèmes

Point fixe. Un réel \ell est un point fixe de f lorsque f(\ell) = \ell. Graphiquement, (\ell\,;\ell) est sur la courbe de f et sur la droite y = x : un point fixe est une abscisse d'intersection de \mathcal{C}_f et de la diagonale.

Théorème du point fixe. Soit (u_n) définie par u_{n+1} = f(u_n). Si (u_n) converge vers \ell et si f est continue en \ell, alors f(\ell) = \ell. Démonstration. u_n \to \ell et f continue en \ell donnent, par le théorème du transfert, f(u_n) \to f(\ell). Or f(u_n) = u_{n+1} \to \ell. Par unicité de la limite, f(\ell) = \ell.

Théorème de la limite monotone (rappel). Une suite croissante et majorée converge ; une suite décroissante et minorée converge. C'est ce résultat qui établit la convergence, le point fixe n'en donnant que la valeur.

Formules à connaître

  • Limite éventuelle \ell : solution de f(x) = x.
  • Sens de variation : u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n, d'où l'étude du signe de g(x) = f(x) - x.
  • Intervalle stable : si f(I) \subset I et u_0 \in I, alors tous les u_n restent dans I (récurrence).

Méthodes type bac

1. Récurrence d'encadrement : montrer que (u_n) reste dans un intervalle I stable par f. On vérifie d'abord que u_0 \in I (initialisation), puis que u_n \in I entraîne u_{n+1} = f(u_n) \in I (hérédité), souvent en exploitant la monotonie de f sur I. 2. Sens de variation : étudier le signe de f(x) - x sur I ; comme u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n, on en déduit que (u_n) est croissante (si f(x) - x \geqslant 0) ou décroissante (si f(x) - x \leqslant 0). 3. Conclusion : appliquer le théorème de la limite monotone (convergence), puis résoudre f(\ell) = \ell et écarter les solutions hors de l'intervalle de séjour de la suite.

Pièges fréquents

  • Croire que f(\ell) = \ell prouve que (u_n) converge : non, il faut d'abord établir la convergence par un argument indépendant (suite monotone et bornée).
  • Oublier d'écarter une solution de f(x) = x incompatible avec l'encadrement (ex : une racine négative quand on a montré u_n \geqslant 0).
  • Élever au carré sans vérifier le signe : l'égalité \ell = \sqrt{\dots} impose \ell \geqslant 0, ce qui sert ensuite à trancher entre les racines obtenues.
  • Confondre point fixe et limite : tout point fixe n'est pas nécessairement la limite de la suite ; seul celui qui est compatible avec l'encadrement et le sens de variation convient.

Pour l'épreuve

C'est le schéma archétypal des suites récurrentes du bac. Apprends la trame en trois temps (bornée par récurrence, monotone via le signe de f(x) - x, puis limite monotone suivie de l'identification du point fixe) et rédige soigneusement la continuité de f avant d'écrire f(\ell) = \ell. La phrase attendue est : « f est continue sur I et (u_n) converge vers \ell \in I, donc par passage à la limite dans u_{n+1} = f(u_n) on obtient f(\ell) = \ell. » Sur le graphique en escalier, place toujours la droite y = x : la suite progresse en escalier quand f est croissante, en colimaçon quand f est décroissante. Vérifie enfin que la valeur trouvée est cohérente avec les premiers termes calculés.