Théorème fondamental des intégrales

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

# Théorème fondamental des intégrales

Définitions et théorèmes

Théorème (fonction intégrale). Soit f continue sur un intervalle I et a \in I. La fonction F : x \mapsto \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t est l'unique primitive de f qui s'annule en a : F est dérivable sur I et F'(x) = f(x).

Théorème fondamental de l'analyse. Si f est continue sur [a\,;b] et si F est une primitive quelconque de f, alors \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a) = \big[F(x)\big]_a^b. La constante d'intégration disparaît dans la soustraction : le résultat ne dépend pas de la primitive choisie.

Ce théorème fait le pont entre aire (définition géométrique) et primitive (calcul algébrique). Il est l'outil central de tout calcul d'intégrale au lycée.

Formules à connaître

  • \displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a).
  • \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t = f(x).
  • \displaystyle\int_a^b \mathrm{e}^{kx}\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{k}\big[\mathrm{e}^{kx}\big]_a^b (k \neq 0).

Méthodes type bac

1. Calcul direct : trouver une primitive, écrire le crochet, soustraire. 2. Étude d'une fonction définie par une intégrale : utiliser F'(x) = f(x) pour les variations, le signe, les limites. 3. Vérifier une primitive donnée par dérivation, puis appliquer le théorème. 4. Exploiter la primitive nulle en a quand on demande \int_a^x f explicitement.

Exemple de calcul direct : \displaystyle\int_1^{\mathrm{e}} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \big[\ln x\big]_1^{\mathrm{e}} = \ln \mathrm{e} - \ln 1 = 1 - 0 = 1. Exemple d'étude d'une fonction intégrale : si F(x) = \int_0^x \mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t, on ne sait pas exprimer F avec les fonctions usuelles, mais F'(x) = \mathrm{e}^{-x^2} > 0 donne immédiatement que F est strictement croissante. C'est toute la puissance du théorème : on étudie F sans connaître son expression.

Formules complémentaires

Pour f(x) = \mathrm{e}^{kx} (k \neq 0), une primitive est \frac1k\mathrm{e}^{kx} ; pour f(x) = \cos(kx), une primitive est \frac1k\sin(kx). Ces facteurs \frac1k sont essentiels dans les calculs d'intégrales définies.

Pièges fréquents

  • Garder la constante +C dans un calcul d'intégrale définie : inutile, elle s'annule dans F(b) - F(a).
  • Erreur de signe en évaluant F(b) - F(a) (surtout avec la primitive -\cos de \sin).
  • Oublier le facteur \frac{1}{k} pour \mathrm{e}^{kx} ou \cos(kx).
  • Pour F(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t, écrire F'(x) = f(t) : la variable muette t doit devenir x, soit F'(x) = f(x).
  • Inverser les bornes sans changer le signe.

Pour l'épreuve

C'est LE théorème du chapitre. Sache l'énoncer avec ses hypothèses (continuité de f) et l'appliquer rapidement. Les fonctions définies par une intégrale à borne variable sont un grand classique des sujets : la clé est toujours F' = f, qui donne variations, signe et tangentes. Rédige proprement le crochet \big[F(x)\big]_a^b et soigne le calcul de F(b) - F(a).