Valeur moyenne d'une intégrale

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

# Valeur moyenne d'une intégrale

Définitions et théorèmes

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a\,;b] avec a < b. La valeur moyenne de f sur [a\,;b] est le réel \mu = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.

Interprétation géométrique. \mu est la hauteur du rectangle de base [a\,;b] ayant la même aire (algébrique) que le domaine compris entre \mathcal{C}_f et l'axe des abscisses. Autrement dit, \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \mu \times (b - a).

Théorème de la moyenne. Si f est continue sur [a\,;b], il existe au moins un réel c \in [a\,;b] tel que f(c) = \mu. (Conséquence du théorème des valeurs intermédiaires appliqué entre le minimum et le maximum de f.)

Formules à connaître

  • \mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.
  • \displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \mu\,(b - a).
  • Valeur moyenne d'une constante : elle-même.

Méthodes type bac

1. Calculer l'intégrale à l'aide d'une primitive, puis diviser par b - a. 2. Contextualiser : « température moyenne », « vitesse moyenne », « débit moyen ». Donner l'unité. 3. Résoudre f(c) = \mu pour trouver l'instant où la valeur instantanée égale la moyenne (souvent une équation du second degré). 4. Vérifier le signe : si f change de signe, \mu est une moyenne algébrique, pas une moyenne d'aires.

Exemple : la valeur moyenne de f(x) = \mathrm{e}^x sur [0\,;1] vaut \mu = \dfrac{1}{1-0}\int_0^1 \mathrm{e}^x\,\mathrm{d}x = \mathrm{e} - 1 \approx 1{,}72. Sur un modèle physique, f(x) = x^2 sur [0\,;3] a pour intégrale 9, donc une valeur moyenne \mu = \frac13\times 9 = 3 : on retrouve bien une hauteur intermédiaire entre le minimum 0 et le maximum 9 de f sur l'intervalle, ce qui est cohérent avec l'encadrement m \leq \mu \leq M.

Pièges fréquents

  • Oublier de diviser par b - a : confondre l'intégrale et la valeur moyenne est l'erreur la plus courante.
  • Inverser b - a (mettre a - b), ce qui change le signe.
  • Oublier l'unité du résultat dans un problème concret (°C, m/s, g/L...).
  • Croire que f atteint forcément sa moyenne en plusieurs points : le théorème de la moyenne garantit au moins un c, pas un nombre précis.
  • Oublier que pour une fonction changeant de signe, \mu est une moyenne algébrique et peut être négative ou nulle.

Pour l'épreuve

La valeur moyenne tombe souvent dans un problème modélisé (température moyenne, vitesse moyenne, concentration moyenne). La démarche est mécanique : calculer l'intégrale via une primitive, puis diviser par la longueur b-a. Le théorème de la moyenne sert parfois à justifier l'existence d'un instant particulier où la valeur instantanée égale la moyenne, ce qui conduit à résoudre f(c) = \mu (souvent une équation du second degré). Rédige toujours le résultat avec son unité.