Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Deux variables aléatoires X et Y définies sur le même univers sont dites indépendantes lorsque, pour toutes valeurs x_i et y_j : P(X=x_i \text{ et } Y=y_j)=P(X=x_i)\times P(Y=y_j). Intuitivement, la connaissance de X n'apporte aucune information sur Y. C'est le cas typique d'expériences répétées sans influence mutuelle : lancers successifs, tirages avec remise, mesures sur des objets distincts.
Pour des variables indépendantes X et Y : - V(X+Y)=V(X)+V(Y). - V(X-Y)=V(X)+V(Y) (le signe - disparaît dans le carré). - V(aX+bY)=a^2V(X)+b^2V(Y). - E(XY)=E(X)\times E(Y).
Toujours vrai, indépendance ou non : - E(X+Y)=E(X)+E(Y) (linéarité de l'espérance). - V(aX+b)=a^2V(X) pour une seule variable.
Calculer la variance d'une combinaison : applique d'abord V(aX)=a^2V(X) sur chaque terme, puis additionne (grâce à l'indépendance). Pour V(3X-2Y) avec X,Y indépendantes : 9V(X)+4V(Y).
Passer de l'écart-type à la variance : V(X)=\sigma(X)^2. Pour combiner des écarts-types, repasse toujours par les variances (\sigma n'est pas additif), puis reprends la racine à la fin.
Justifier l'indépendance : en pratique au bac, on l'admet à partir du contexte (« les lancers sont indépendants », « tirage avec remise », « machines distinctes »). Cite ce contexte explicitement avant d'écrire V(X+Y)=V(X)+V(Y).
L'indépendance est le pivot de tout ce thème. Avant chaque calcul de variance d'une somme, demande-toi : « les variables sont-elles indépendantes ? » et écris la justification. C'est exactement cette ligne que les correcteurs cherchent et qui sépare une réponse complète d'une réponse pénalisée. Le résultat V(X+Y)=V(X)+V(Y) ouvre la voie aux deux chapitres suivants (somme et moyenne d'un échantillon), où l'on somme n variables identiques et indépendantes ; c'est lui qui produit le facteur n puis le \frac{1}{n} décisifs pour la loi des grands nombres.
Soigne les calculs avec les coefficients au carré (a^2, b^2) : c'est là que se logent la plupart des erreurs, en particulier l'oubli du carré ou un signe mal placé. Et n'oublie jamais qu'une différence de variables indépendantes a une variance qui s'AJOUTE, ce qui surprend beaucoup d'élèves : le signe moins disparaît dans le carré. En contrôle, rédige toujours la phrase de justification de l'indépendance avant la formule, vérifie la cohérence de tes variances (toujours positives) et repasse par la variance pour tout calcul d'écart-type. Ces réflexes simples sécurisent des points faciles et préparent solidement les chapitres d'échantillonnage.