Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Étant donné une variable aléatoire X et deux réels a et b, on construit une nouvelle variable aX+b : à chaque valeur x_i prise par X correspond la valeur ax_i+b. À partir de deux variables X et Y définies sur le même univers, on construit la somme X+Y, dont les valeurs sont les sommes x_i+y_j des valeurs prises.
Le résultat central de ce chapitre est la linéarité de l'espérance : l'espérance se comporte « comme une moyenne pondérée » et respecte les opérations linéaires.
L'espérance est toujours additive, sans aucune hypothèse. En revanche, la variance d'une somme V(X+Y) n'est égale à V(X)+V(Y) que si X et Y sont indépendantes : c'est l'objet du chapitre suivant.
Calculer une espérance après transformation : ne refais jamais la loi pour appliquer E ; utilise directement E(aX+b)=aE(X)+b. Exemple : si E(X)=4 alors E(3X-2)=3\times4-2=10.
Construire la loi de Y=aX+b : recopie les probabilités de X et transforme uniquement les valeurs (x_i\mapsto ax_i+b). Les probabilités, elles, ne changent pas.
Centrer-réduire : pour obtenir Z d'espérance 0 et de variance 1, pose Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}. Vérifie : E(Z)=\dfrac{1}{\sigma}(E(X)-\mu)=0 et V(Z)=\dfrac{1}{\sigma^2}V(X)=1.
Problème de gain : modélise le gain net comme N=G-\text{mise}, puis E(N)=E(G)-\text{mise}. Le signe de E(N) dit si le jeu est favorable (positif) ou défavorable (négatif) au joueur.
Ces formules de linéarité sont des automatismes qui rapportent des points faciles et servent de briques dans les exercices de loi binomiale, d'échantillonnage et de concentration. Vérifie systématiquement la dimension de ta réponse : une espérance de gain s'exprime en euros, une espérance d'un nombre de succès est sans unité. Quand tu enchaînes plusieurs transformations, applique-les pas à pas pour éviter les erreurs de signe. Un réflexe utile : avant de calculer, écris la transformation sous la forme canonique aX+b en identifiant clairement a et b, puis applique les formules ; cela évite les confusions de coefficient. De même, pour une combinaison de deux variables, repère a, b et la constante c avant tout calcul.
Enfin, garde en tête la distinction cruciale : l'espérance est additive sans condition, mais la variance ne l'est que pour des variables indépendantes ; c'est l'erreur la plus pénalisante de ce thème, et les correcteurs y sont particulièrement attentifs. Retiens aussi que la translation par b ne modifie jamais la variance : seul le facteur multiplicatif a compte, élevé au carré. Maîtriser ces réflexes te fait gagner du temps et sécurise les premières questions, souvent rédigées en quelques lignes, sur lesquelles il ne faut jamais perdre de points.