Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Un vecteur normal a un plan \mathcal{P} est un vecteur \vec{n} non nul orthogonal a tout vecteur du plan. En pratique, il suffit que \vec{n} soit orthogonal a deux vecteurs directeurs non colineaires de \mathcal{P} : il est alors orthogonal a toute combinaison lineaire, donc a tout vecteur du plan.
Le lien avec l'equation cartesienne est fondamental : si \mathcal{P} a pour equation ax+by+cz+d=0, alors le vecteur \vec{n}\,(a\,;b\,;c) forme des coefficients de x, y, z est un vecteur normal de \mathcal{P}. Reciproquement, connaitre un point et un vecteur normal suffit a determiner l'equation du plan.
Une droite est orthogonale a un plan si et seulement si son vecteur directeur est colineaire a un vecteur normal du plan. Deux plans sont paralleles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colineaires.
Lire un normal sur une equation. Prendre les coefficients de x, y, z.
Determiner un normal a partir de deux directeurs. Poser \vec{n}\,(a\,;b\,;c) et resoudre le systeme \vec{n}\cdot\vec{u}=0, \vec{n}\cdot\vec{v}=0 ; fixer une coordonnee pour lever l'indetermination.
Verifier qu'un vecteur est normal. Deux produits scalaires nuls avec deux directeurs non colineaires.
Soit un plan dirige par \vec{u}\,(1\,;1\,;0) et \vec{v}\,(0\,;1\,;1). On cherche un normal \vec{n}\,(a\,;b\,;c) : \vec{n}\cdot\vec{u}=a+b=0 et \vec{n}\cdot\vec{v}=b+c=0. On choisit b=1 : alors a=-1 et c=-1, donc \vec{n}\,(-1\,;1\,;-1). On verifie : \vec{n}\cdot\vec{u}=-1+1+0=0 et \vec{n}\cdot\vec{v}=0+1-1=0. Le systeme a une infinite de solutions colineaires entre elles, ce qui est normal : un plan n'a qu'une direction normale, mais une infinite de vecteurs normaux proportionnels. On choisit toujours le plus simple, a coordonnees entieres.
Le vecteur normal est la cle qui ouvre l'equation cartesienne, la distance point-plan et le projete orthogonal. Le reflexe : sur une equation, le normal se lit immediatement. Pour le construire a partir de directeurs, le systeme a deux equations et trois inconnues a une infinite de solutions colineaires ; choisis la plus simple (coordonnees entieres). Verifie toujours par deux produits scalaires nuls.