Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel
Trois vecteurs \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} sont coplanaires lorsqu'ils admettent des representants situes dans un meme plan. Le critere de travail est algebrique : si \vec{u} et \vec{v} ne sont pas colineaires, alors \vec{w} est coplanaire avec eux si et seulement s'il existe deux reels a et b tels que \vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}.
Consequence majeure : trois vecteurs non coplanaires forment une base de l'espace. Tout vecteur de l'espace se decompose alors de maniere unique sur cette base.
Tester la coplanarite de trois vecteurs. Verifier d'abord que deux d'entre eux ne sont pas colineaires, puis resoudre \vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}. Deux equations donnent a et b, la troisieme confirme ou infirme.
Montrer que quatre points sont coplanaires. Former \vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD} et montrer que \vec{AD} est combinaison lineaire des deux premiers.
Justifier une base. Montrer que les trois vecteurs ne sont pas coplanaires (systeme incompatible).
Soit \vec{u}\,(1\,;0\,;1), \vec{v}\,(0\,;1\,;1) et \vec{w}\,(2\,;1\,;3). Les deux premiers ne sont pas colineaires. On resout \vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v} : a=2, b=1, a+b=3. De la premiere a=2, de la deuxieme b=1, et la troisieme verifie 2+1=3. Le systeme est compatible, donc \vec{w}=2\vec{u}+\vec{v} : les trois vecteurs sont coplanaires. Si la troisieme equation avait donne une valeur differente, les vecteurs auraient forme une base de l'espace. Ce lien entre coplanarite et base est essentiel : trois vecteurs non coplanaires permettent de reperer tout l'espace.
La coplanarite de vecteurs et l'appartenance d'un point a un plan reposent sur le meme outil : resoudre un systeme 3 equations / 2 inconnues et verifier la compatibilite. Maitrise cette manipulation, elle revient dans presque tous les exercices de geometrie dans l'espace. Le lien avec la notion de base est souvent demande pour justifier qu'un repere est valide. Pour conclure, garde a l'esprit le double visage de la coplanarite : du cote des vecteurs, elle signifie qu'on reste dans une meme direction de plan ; du cote des points, qu'ils appartiennent a un meme plan. Dans les deux cas, l'outil de decision est un systeme lineaire dont on verifie la compatibilite. C'est cette competence, repetee dans tout le programme de geometrie, que les correcteurs valorisent le plus.