Vecteurs de l'espace

Spé. Mathématiques · Terminale · cours rédigé et vérifié par Claryo, conforme au Bulletin officiel

Definitions et theoremes

Un vecteur de l'espace se manipule comme dans le plan : il est defini par une direction, un sens et une norme, et deux representants equipollents definissent le meme vecteur. Toutes les operations connues restent valables : addition, multiplication par un reel, et la relation de Chasles \vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}.

Deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} non nuls sont colineaires lorsqu'il existe un reel k tel que \vec{v}=k\vec{u}. C'est l'outil central pour prouver un alignement : trois points A, B, C sont alignes si et seulement si \vec{AB} et \vec{AC} sont colineaires.

Formules a connaitre

Dans un repere \left(O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right) : - Coordonnees d'un vecteur : \vec{AB}\,(x_B-x_A\,;y_B-y_A\,;z_B-z_A). - Combinaison lineaire : a\vec{u}+b\vec{v} se calcule composante par composante. - Milieu de [AB] : I\,\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\dfrac{y_A+y_B}{2}\,;\dfrac{z_A+z_B}{2}\right). - Egalite vectorielle : on identifie les trois coordonnees.

Methodes type bac

Prouver un alignement. Calculer \vec{AB} et \vec{AC}, puis chercher k tel que \vec{AC}=k\vec{AB} (les trois rapports de coordonnees doivent etre egaux).

Trouver un 4e sommet de parallelogramme. Ecrire \vec{AB}=\vec{DC} et resoudre les trois equations.

Tester une combinaison lineaire. Poser \vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}, en deduire a et b avec deux equations, puis verifier la troisieme : si elle est fausse, \vec{w} n'est pas combinaison lineaire.

Pieges frequents

  • Confondre \vec{AB}=\vec{DC} (parallelogramme ABCD) et \vec{AB}=\vec{CD} (faux).
  • Oublier de verifier la troisieme equation dans un test de combinaison lineaire : deux equations seules ne suffisent jamais.
  • Calculer \vec{AB} en faisant origine moins extremite : c'est l'inverse.
  • Croire qu'un alignement ne demande qu'un seul rapport egal : il faut les trois.

Exemple guide

Soit A\,(2\,;-1\,;0), B\,(4\,;1\,;2) et C\,(1\,;0\,;3). On calcule \vec{AB}=(2\,;2\,;2) et \vec{AC}=(-1\,;1\,;3). Ces deux vecteurs ne sont pas colineaires (la premiere coordonnee de \vec{AB} est positive, celle de \vec{AC} negative), donc A, B, C ne sont pas alignes : ils definissent un plan. Pour completer en parallelogramme ABCD, on impose \vec{AB}=\vec{DC}, ce qui donne D=C-\vec{AB}=(1-2\,;0-2\,;3-2)=(-1\,;-2\,;1). Ce schema (calcul de vecteurs, test de colinearite, fermeture d'une figure) est exactement celui que l'on retrouve dans la premiere question de presque tout exercice de geometrie dans l'espace : il faut le derouler sans hesitation.

Pour l'epreuve

Choisir un bon repere (souvent \left(A\,;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE}\right) pour un cube) simplifie tout : les sommets ont des coordonnees de 0 et de 1. Pose toujours proprement les coordonnees de chaque point avant de calculer, et garde les fractions exactes (\dfrac{2}{3}, jamais 0{,}67). La relation de Chasles est ton couteau suisse pour decomposer n'importe quel vecteur sur les aretes.